Câu hỏi:

a) Ta có \(A=2 x y\left(x y^2-3 x^2 y+1\right)\)

\(=2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y\)

Đa thức \(A\) có bậc là 8. 

b) Ta có \(B=\left(12 x^4 y^5-36 x^5 y^4+6 x^3 y^3\right): 6 x^2 y^2\)

\(\begin{aligned}& =12 x^4 y^5:\left(6 x^2 y^2\right)-36 x^5 y^4:\left(6 x^2 y^2\right)+6 x^3 y^3:\left(6 x^2 y^2\right) \\& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+x y\end{aligned}\)

Khi đó, hệ số tự do của đa thức \(B\) là 0. 

c) Thay \(x=-1 ; y=1\) vào biểu thức \(B\), ta có:

\(B=2 \cdot(-1)^2 \cdot 1^3-6 \cdot(-1)^3 \cdot 1^2+(-1) \cdot 1=2+6-1=7 \)

Vậy với \(x=-1 ; y=1\) thì \(B=7\). 

d) Ta có \(A=M+B\). Suy ra \(M=A-B\)

\(\begin{aligned}& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y-\left(2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+x y\right) \\& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y-2 x^2 y^3+6 x^3 y^2-x y \\& =\left(2 x^2 y^3-2 x^2 y^3\right)+\left(-6 x^3 y^2+6 x^3 y^2\right)+(2 x y-x y)=x y\end{aligned}\)

Như vậy, \(M\) là một đơn thức.

a) Giả sử \(A I\) cắt \(B C\) ở \(H\).

Ta có: \(\widehat{D A I}+\widehat{D A B}+\widehat{B A H}=180^{\circ}\), mà \(\widehat{D A B}=90^{\circ}\) (do \(\triangle D A B\) vuông cân tại \(A\) ).

Suy ra \(\widehat{D A I}+\widehat{B A H}=90^{\circ}\). 

b) Ta có \(\widehat{D A I}=\widehat{A B C}\) (gt) nên \(\widehat{A B H}+\widehat{B A H}=90^{\circ}\).

Trong \(\triangle A B H\) có: \(\widehat{A B H}+\widehat{B A H}+\widehat{A H B}=180^{\circ}\).

Suy ra \(\widehat{A H B}=180^{\circ}(\widehat{A B H}+\widehat{B A H})=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\) hay \(A I \perp B C\). 

c) Ta có \(\widehat{B A E}=\widehat{B A C}+\widehat{C A E}=\widehat{B A C}+90^{\circ}\) và \(\widehat{D A C}=\widehat{B A C}+\widehat{B A D}=\widehat{B A C}+90^{\circ}\).

Do đó \(\widehat{B A E}=\widehat{D A C}\).

Xét \(\triangle B A E\) và \(\triangle D A C\) có:

\(A B=A D ; \widehat{B A E}=\widehat{D A C} ; A C=A E ;\)

Do đó \(\triangle B A E=\triangle D A C\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{E B A}=\widehat{C D A}\) (hai góc tương ứng).

d) Tam giác \(A B D\) vuông cân tại \(A\) nên \(A K\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó \(\widehat{D A K}=\frac{1}{2} \widehat{B A D}=45^{\circ}\).

Khi đó \(\widehat{A B K}=\widehat{B A K}=45^{\circ}\) nên \(\Delta A B K\) vuông cân tại \(K\), do đó \(K A=K B\). 

Ta có \(4 x^2-20 x+5 a\)

\(\begin{aligned}& =(2 x)^2-2 \cdot 2 x \cdot 5+5^2+5 a-25 \\& =(2 x-5)^2+5 a-25\end{aligned}\)

Để \(4 x^2-20 x+5 a\) là bình phương của một hiệu thì \(5 a-25=0\) hay \(a=5\).

Với \(x \neq \frac{3}{2} ; x \neq \frac{1}{5} ; x \neq-\frac{1}{5} \) ta có: 

\(\begin{aligned}& U=\frac{5 x+1}{2 x-3} \cdot \frac{x+2}{25 x^2-1}-\frac{8-3 x}{25 x^2-1}: \frac{2 x-3}{5 x+1} \\& =\frac{5 x+1}{2 x-3} \cdot \frac{x+2}{25 x^2-1}-\frac{8-3 x}{25 x^2-1} \cdot \frac{5 x+1}{2 x-3} \\& =\frac{5 x+1}{2 x-3} \cdot\left(\frac{x+2}{25 x^2-1}-\frac{8-3 x}{25 x^2-1}\right) \\& =\frac{5 x+1}{2 x-3} \cdot\left(\frac{x+2-8+3 x}{25 x^2-1}\right) \\& =\frac{5 x+1}{2 x-3} \cdot \frac{4 x-6}{25 x^2-1} \\& =\frac{(5 x+1) \cdot 2(2 x-3)}{(2 x-3) \cdot(5 x-1)(5 x+1)}=\frac{2}{5 x-1} .\end{aligned}\)

Vậy với \(x \neq \frac{3}{2} ; x \neq \frac{1}{5} ; x \neq-\frac{1}{5} \), sau khi rút gọn biểu thức \(U\) ta được phân thức có tử thức bằng 2.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S . A B C\) là:

\(S_{x q}=\frac{1}{2} \cdot(A B+B C+C A) \cdot S I=\frac{1}{2} \cdot(5+5+5) \cdot 6=45\left(\mathrm{cm}^2\right) .\)

Vậy diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S . A B C\) là \(45 \mathrm{cm}^2\).