Câu hỏi:

Trong tam giác vuông \[ABC\] nếu có \(\widehat {B\,} = 60^\circ \) thì tỉ số giữa cạnh góc vuông \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng bao nhiêu?

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\) và \(AB = 13\,\;{\rm{cm}}\), \(BH = 5\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tỉ số lượng giác \(\sin C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) bằng

(2,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\].

b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\).

2. Giải các bất phương trình sau:

a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7.\)

b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}.\)

(2,5 điểm)

1. Xác định \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km. Tính vận tốc dòng nước

(2,0 điểm)

1. Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {B\,} = 70^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh bất đẳng thức sau:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

Bạn An sau khi thực hiện các bước phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) nhận được kết quả là \(x = 0\) và \(x = - \frac{3}{2}.\) Khi đó, kết luận bạn An cần viết là

Phương trình \(\left( {x + 4} \right)\left( {8 - x} \right) = 0\) có nghiệm là

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + 4y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) và các khẳng định nào sau:

(i) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình \(0x = 3.\)

(ii) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình có vô số nghiệm.

(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?