Câu hỏi:
Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ \(Oxyz\) (gốc \(O\) đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc \(6\) giờ máy bay \(A\) xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia \(OA\) lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], \(Oy\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(800\) km/h. Mười phút sau máy bay \(B\) đi Hà Nội theo tia \(OB\) hợp với ba tia \(Ox'\), \(Oy'\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(900\) km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay \(A\) và \(B\) lúc \(6\) giờ \(30\) phút.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Máy bay A bay trong 30 phút = 0.5h, máy bay B bay trong 20 phút = 1/3h.
Tọa độ của A là: $(800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Tọa độ của A là: $(\frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}})$
Tọa độ của B là: $(900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Tọa độ của B là: $(\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$
Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{10000}{3}} = \sqrt{10000} = 100 \cdot \sqrt{100} = 100 km$
Tuy nhiên, do $Ox'$ và $Oy'$ vuông góc với $Ox$ và $Oy$ nên tọa độ của B là: $(-\frac{300}{\sqrt{3}}, -\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$
Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{700}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 490000 + 10000}{3}} = \sqrt{\frac{990000}{3}} = \sqrt{330000} = 100 \sqrt{33} \approx 574.45 \approx 574 $
Vậy đáp án là 574 km, gần với đáp án B nhất.
Tọa độ của A là: $(800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Tọa độ của A là: $(\frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}})$
Tọa độ của B là: $(900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Tọa độ của B là: $(\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$
Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{10000}{3}} = \sqrt{10000} = 100 \cdot \sqrt{100} = 100 km$
Tuy nhiên, do $Ox'$ và $Oy'$ vuông góc với $Ox$ và $Oy$ nên tọa độ của B là: $(-\frac{300}{\sqrt{3}}, -\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$
Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{700}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 490000 + 10000}{3}} = \sqrt{\frac{990000}{3}} = \sqrt{330000} = 100 \sqrt{33} \approx 574.45 \approx 574 $
Vậy đáp án là 574 km, gần với đáp án B nhất.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có $\overrightarrow{MA} = (-1-a; 2-b; 3)$ và $\overrightarrow{MB} = (-1-a; -2-b; 1)$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Explanation for the answer.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $(Oxy)$. Ta có $\overrightarrow{MN} = (1; 1; -15)$. Phương trình đường thẳng $MN$ là: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 15t \end{cases}$.
Vì $I \in (Oxy)$ nên $z_I = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow I\left( \dfrac{6}{5}; \dfrac{11}{5}; 0 \right)$.
Vậy $R = OI = \sqrt{\left( \dfrac{6}{5} \right)^2 + \left( \dfrac{11}{5} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{157}{25}} \approx 2,50$.
Tuy nhiên, đáp án này không chính xác. Ta cần tìm bán kính nhỏ nhất, tức là đường tròn phải tiếp xúc với đường thẳng $MN$. Khi đó, $R$ chính là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$.
Ta có $\overrightarrow{OM} = (1; 2; 3)$. Khi đó, $\[OM, \overrightarrow{MN} \] = (-33; 18; -1)$.
Vậy $R = \dfrac{\|[OM, \overrightarrow{MN} ]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt{33^2 + 18^2 + 1}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 15^2}} = \sqrt{\dfrac{1454}{227}} \approx 2,53$.
Loại đáp án A.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $MN$. Để tấm bìa che khuất được vật thì $R \ge d$. Bán kính nhỏ nhất của tấm bìa là $d$.
$d = \dfrac{\|[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt {33^2+18^2+1} }{\sqrt{1^2+1^2+(-15)^2}} = \dfrac{\sqrt{1454}}{\sqrt{227}} \approx 2,53$
Vậy đáp án chính xác nhất là $2.64$
Vì $I \in (Oxy)$ nên $z_I = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow I\left( \dfrac{6}{5}; \dfrac{11}{5}; 0 \right)$.
Vậy $R = OI = \sqrt{\left( \dfrac{6}{5} \right)^2 + \left( \dfrac{11}{5} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{157}{25}} \approx 2,50$.
Tuy nhiên, đáp án này không chính xác. Ta cần tìm bán kính nhỏ nhất, tức là đường tròn phải tiếp xúc với đường thẳng $MN$. Khi đó, $R$ chính là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$.
Ta có $\overrightarrow{OM} = (1; 2; 3)$. Khi đó, $\[OM, \overrightarrow{MN} \] = (-33; 18; -1)$.
Vậy $R = \dfrac{\|[OM, \overrightarrow{MN} ]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt{33^2 + 18^2 + 1}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 15^2}} = \sqrt{\dfrac{1454}{227}} \approx 2,53$.
Loại đáp án A.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $MN$. Để tấm bìa che khuất được vật thì $R \ge d$. Bán kính nhỏ nhất của tấm bìa là $d$.
$d = \dfrac{\|[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt {33^2+18^2+1} }{\sqrt{1^2+1^2+(-15)^2}} = \dfrac{\sqrt{1454}}{\sqrt{227}} \approx 2,53$
Vậy đáp án chính xác nhất là $2.64$
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $\overrightarrow{n} = (0; m; n)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $my + nz = 0$.
Khi đó, $d_1 = \frac{|-2m + 3n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_2 = \frac{|4m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_3 = \frac{|2m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
Do $A, B, C$ nằm cùng phía với $(\alpha)$ nên ta có thể giả sử $-2m + 3n > 0$, $4m + n > 0$, $2m + n > 0$.
$T = \frac{-2m + 3n + 2(4m + n) + 3(2m + n)}{\sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{12m + 8n}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
$T = \frac{12\frac{m}{n} + 8}{\sqrt{(\frac{m}{n})^2 + 1}}$.
Đặt $t = \frac{m}{n} > -\frac{1}{4}$, ta có $T = \frac{12t + 8}{\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = \frac{12\sqrt{t^2 + 1} - (12t + 8)\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}}{t^2 + 1} = \frac{12(t^2 + 1) - 12t^2 - 8t}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{-8t + 12}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$.
Khi đó $T_{max} = \frac{12(\frac{3}{2}) + 8}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1}} = \frac{26}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{26}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = 4\sqrt{13}$.
Suy ra $a = 4$ và $b = 13$.
Vậy $S = 2a + 3b = 2(4) + 3(13) = 8 + 39 = 47$.
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $my + nz = 0$.
Khi đó, $d_1 = \frac{|-2m + 3n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_2 = \frac{|4m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_3 = \frac{|2m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
Do $A, B, C$ nằm cùng phía với $(\alpha)$ nên ta có thể giả sử $-2m + 3n > 0$, $4m + n > 0$, $2m + n > 0$.
$T = \frac{-2m + 3n + 2(4m + n) + 3(2m + n)}{\sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{12m + 8n}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
$T = \frac{12\frac{m}{n} + 8}{\sqrt{(\frac{m}{n})^2 + 1}}$.
Đặt $t = \frac{m}{n} > -\frac{1}{4}$, ta có $T = \frac{12t + 8}{\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = \frac{12\sqrt{t^2 + 1} - (12t + 8)\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}}{t^2 + 1} = \frac{12(t^2 + 1) - 12t^2 - 8t}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{-8t + 12}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$.
Khi đó $T_{max} = \frac{12(\frac{3}{2}) + 8}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1}} = \frac{26}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{26}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = 4\sqrt{13}$.
Suy ra $a = 4$ và $b = 13$.
Vậy $S = 2a + 3b = 2(4) + 3(13) = 8 + 39 = 47$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có: $\vec{u} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}$
$\vec{u} = 2(2; -1; 0) - 3(-1; -3; 2) + (-2; -4; -3)$
$\vec{u} = (4; -2; 0) - (-3; -9; 6) + (-2; -4; -3)$
$\vec{u} = (4+3-2; -2+9-4; 0-6-3)$
$\vec{u} = (5; 3; -9)$
$\vec{u} = 2(2; -1; 0) - 3(-1; -3; 2) + (-2; -4; -3)$
$\vec{u} = (4; -2; 0) - (-3; -9; 6) + (-2; -4; -3)$
$\vec{u} = (4+3-2; -2+9-4; 0-6-3)$
$\vec{u} = (5; 3; -9)$
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
