Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x+2017\) nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b-a>3 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y^{\prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2)\)
Hàm số nghịch biến trên \((a ; b) \Leftrightarrow x^{2}+(m-1) x+(m-2) \leq 0 \forall x \in(a ; b)\)
\(\Delta=m^{2}-6 m+9\)
TH1: \(\Delta \leq 0 \Rightarrow x^{2}+(m-1) x+(m-2) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \text { Vô lí }\)
TH2: \(\Delta>0 \Leftrightarrow m \neq 3 \Rightarrow y^{\prime}\) có hai nghiệm \(x_{1}, x_{2}\left(x_{2}>x_{1}\right)\)
\(\Rightarrow \)Hàm số luôn nghịch biến trên \(\left(x_{1} ; x_{2}\right)\).
Yêu cầu đề bài:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_{2}-x_{1}>3 \Leftrightarrow\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}>9 \Leftrightarrow S^{2}-4 P>9 \\ \Leftrightarrow(m-1)^{2}-4(m-2)>9 \Leftrightarrow m^{2}-6 m>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>6 \\ m<0 \end{array}\right. \end{array}\)