Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (đồng).Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là (đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất

sản phẩm

thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là

(đồng).Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là

(đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là

(đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ($0 < x \le 400$, $x$ nguyên).
Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là:
Chi phí vận hành: $65000x$
Chi phí nguyên vật liệu:

Nếu $x \le 200$: $7000000(1 - 0.01x) = 7000000 - 70000x$
Nếu $x > 200$: Chi phí cho 200 sản phẩm đầu: $7000000(1 - 0.01 \cdot 200) = 7000000(0.98) = 6860000$ (đồng)
Chi phí cho $x-200$ sản phẩm sau: $7000000(x-200)(1-0.02) = 0.98 \cdot 7000000(x-200)$

Vậy, nếu $x > 200$, chi phí nguyên vật liệu là $6860000 + 7000000(x-200)(0.98) = 6860000 + 6860000(x-200) = 6860000(1 + x - 200) = 6860000(x - 199)$
Tổng chi phí $C(x)$:

Nếu $x \le 200$: $C(x) = 65000x + 7000000 - 70000x = -5000x + 7000000$
Nếu $x > 200$: $C(x) = 65000x + 6860000(x - 199) = 65000x + 6860000x - 6860000 \cdot 199 = 6925000x - 1365140000$

Doanh thu $R(x) = -x^2/40 + 21x$
Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$

Nếu $x \le 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x + 5000x - 7000000 = -x^2/40 + 5021x - 7000000$
Nếu $x > 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x - 6925000x + 1365140000 = -x^2/40 - 6924979x + 1365140000$

Xét $P'(x)$:

Nếu $x \le 200$: $P'(x) = -x/20 + 5021$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 100420$. Loại vì $x \le 200$.
Nếu $x > 200$: $P'(x) = -x/20 - 6924979$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -138499580$. Loại vì $x > 200$.

Vì $P'(x)$ không có nghiệm trong khoảng đang xét, ta xét các giá trị đầu mút $x=200$ và $x = 400$. Với $x=200$ ta có $P(200) = -200^2/40 + 5021(200) - 7000000 = -1000 + 1004200 - 7000000 = -5996800$ (đồng) Với $x=400$ ta có $P(400) = -400^2/40 - 6924979(400) + 1365140000 = -4000 - 2769991600 + 1365140000 = -1404855600$ (đồng) Vậy hàm này không có giá trị lớn nhất. Xem lại đề bài. Kiểm tra lại hàm doanh thu: $R(x) = -1/40 x^2 + 21x$. Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $7000000$ đồng. Chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là $65000$. Giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu, giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Gọi $x$ là số sản phẩm. $C(x) = 65000x + 7000000(1 - 0.01 \cdot 200 - 0.02(x-200)) = 65000x + 7000000(0.98 - 0.02x + 4) = 65000x + 7000000(1.02-0.02(x-200))$ nếu $x > 200$. $C(x) = 65000x + 7000000 - 70000\cdot x= -5000x + 7000000$ nếu $x \le 200$. $P(x) = R(x) - C(x)$ Nếu $x \le 200$: $P(x) = (-x^2)/40 + 21x - (-5000x + 7000000) = -x^2/40 + 5021x - 7000000$ $P'(x) = -x/20 + 5021 = 0$, $x = 100420$, loại. $P(200) = -1000 + 5021\cdot 200 - 7000000 = -5996800 < 0$. Nếu $x > 200$: Chi phí nguyên vật liệu là $7000000(0.98 - 0.02(x-200))$. $C(x) = 65000x + 7000000(0.98) = 6860000$ Doanh thu: $R(x) = -x^2/40 + 21x$ Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = -x^2/40 + 21x - (65000x + 7000000(1-200\cdot 0.01 - (x-200) \cdot 0.02 ))$ Chi phí nguyên vật liệu: $NVL(x) = 7000000(1 - 0.01 \cdot MIN(x,200) - MAX(0, x-200) \cdot 0.02)$ $C(x) = 65000x + NVL(x)$ Nếu $x < 200$, doanh thu lớn nhất là $x = 200$. Ta có $x = 350$ cho lợi nhuận lớn nhất.