Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là (là phân số tối giản). Tính .

Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là

(là phân số tối giản). Tính

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi A là biến cố "2 bi lấy từ hộp I không cùng màu".
Gọi B là biến cố "Viên bi lấy từ hộp II là bi trắng".
Ta cần tính P(A|B).
Ta có: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$P(A) = \frac{C_5^1 C_7^1}{C_{12}^2} = \frac{5.7}{66} = \frac{35}{66}$
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{35}{66} = \frac{31}{66}$
Trường hợp 1: Lấy 2 bi trắng từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_1 = \frac{C_5^2}{C_{12}^2} = \frac{10}{66}$
Khi đó, hộp II có 12 bi trắng và 15 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{12}{27}$.
Trường hợp 2: Lấy 2 bi đỏ từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_2 = \frac{C_7^2}{C_{12}^2} = \frac{21}{66}$
Khi đó, hộp II có 10 bi trắng và 17 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{10}{27}$.
Trường hợp 3: Lấy 1 bi trắng và 1 bi đỏ từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_3 = \frac{C_5^1 C_7^1}{C_{12}^2} = \frac{35}{66}$
Khi đó, hộp II có 11 bi trắng và 16 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{11}{27}$.
$P(B) = P_1.\frac{12}{27} + P_2.\frac{10}{27} + P_3.\frac{11}{27} = \frac{10}{66}.\frac{12}{27} + \frac{21}{66}.\frac{10}{27} + \frac{35}{66}.\frac{11}{27} = \frac{120 + 210 + 385}{66.27} = \frac{715}{1782} = \frac{65}{162}$
$P(A \cap B) = P(A) . P(B|A) = \frac{35}{66} . \frac{11}{27} = \frac{385}{1782} = \frac{35}{162}$
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{35/162}{65/162} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$
Vậy a = 7, b = 13, a + b = 20.
Sai đề bài
Tính xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp I không cùng màu, biết viên bi lấy từ hộp II là bi trắng.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{35}{66} \cdot \frac{11}{27}}{\frac{65}{162}} = \frac{\frac{35}{66} \cdot \frac{11}{27}}{\frac{65}{162}} = \frac{\frac{385}{1782}}{\frac{715}{1782}} = \frac{385}{715} = \frac{7}{13}$
Vậy số cần tìm là 7 + 13 = 20.
Đề sai, sửa thành tính $P(B|A)$
Khi đó: $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(A)} = \frac{\frac{11}{27} \cdot \frac{35}{66}}{\frac{35}{66}} = \frac{11}{27}$
a = 11, b = 27. a + b = 38
Đề sai.
Nếu hỏi xác suất để lấy được bi trắng khi biết 2 viên lấy ra không cùng màu:
Thì $P(B|A) = \frac{11}{27}$
$a+b = 11 + 27 = 38$
Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I không cùng màu:
$P(A) = \frac{35}{66}$
$a+b = 35+66 = 101$
Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I không cùng màu khi biết lấy từ hộp II được bi trắng:
$P(A|B) = \frac{7}{13}$
$a+b = 7+13 = 20$
Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy từ hộp I có cùng màu:
$P(\overline{A}) = \frac{31}{66}$
$a+b = 31 + 66 = 97$