Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a,\] cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt đáy, $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$ Biết khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là \[ma\] (với \[m\] là số thực dương). Khi đó giá trị của \[m\] bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$, $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$.
Ta có $BC \perp AH$ (do $BC \perp (SAB)$)
$=> BC \perp (AHK)$. Do đó $(AHK) \perp (SBC)$.
Gọi $I = AH \cap (SBC)$. Khi đó $AI$ là khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.
Vì $AH \perp SB$ và $AK \perp SC$ nên $AI$ không phải là $AH$ hay $AK$.
Ta có $BC \perp (SAB) => BC \perp SB$. Mà tam giác $SBC$ không vuông tại $B$. Vậy $H \equiv I$.
Ta có $AH \perp SB$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có:
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}$
$=> A{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{5} => AH = a\sqrt {\frac{3}{5}} = a\frac{{\sqrt {15} }}{5} \approx 0.77a$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Trong $(SAC)$, kẻ $AH \perp SC$, ta có:
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}$
$=> AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$
Kẻ $AE \perp SB$ tại $E$, $AF \perp SC$ tại $F$. Dựng $AK \perp (SBC)$ tại $K$, khi đó:
$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
Ta có: $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}$
$d(A,(SBC)) = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.a}}{{\sqrt {\frac{{6{a^2}}}{4} + {a^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{10{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }} = a\sqrt {\frac{3}{5}} = a\frac{{\sqrt {15} }}{5} \approx 0.77 a$
Vì $d(A,(SBC)) = ma => m \approx 0.77$ là đáp số sai.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $AM \perp BC$.
Trong $(SAM)$, kẻ $AH \perp SM$ tại $H$. Khi đó $AH \perp (SBC)$.
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{2}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{6}{{3{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}}$
$=> AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \approx 0.71a$
$=> m \approx 0.71$.