Câu hỏi:

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$.
Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: Có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau nên không phải phương trình mặt cầu.
• Đáp án B: $x^2+y^2+z^2-2 x-2 y+3=0$ có $a = 1, b = 1, c = 0, d = 3$. Khi đó $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + 1 + 0 - 3 = -1 < 0$ nên không phải phương trình mặt cầu.
• Đáp án C: $2 x^2+2 y^2+2 z^2-4 x-8 y=0$ tương đương $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y = 0$ có $a = 1, b = 2, c = 0, d = 0$. Khi đó $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + 4 + 0 - 0 = 5 > 0$ nên đây là phương trình mặt cầu.
• Đáp án D: Có hệ số của $x^2$ và $z^2$ khác dấu nên không phải phương trình mặt cầu.

Vậy đáp án đúng là C.

Phương trình mặt cầu có dạng: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ với $R>0$

Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y+4z+m=0$ $\Leftrightarrow$ $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 + 4z + 4) = 6 - m$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2 + (y+1)^2 + (z+2)^2 = 6 - m$

Để đây là phương trình mặt cầu thì $R^2 = 6 - m > 0$ $\Leftrightarrow$ $m < 6$.

Để một phương trình là phương trình mặt cầu, nó phải có dạng $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$.


* Đáp án A không phải là phương trình mặt cầu vì có $(y+z)^2$.
* Đáp án B có thể là phương trình mặt cầu. Chia cả hai vế cho 3, ta được: $x^2 + y^2 + z^2 - \frac{2}{3}x - 2y + \frac{4}{3}z - \frac{1}{3} = 0$. Khi đó, $a = -\frac{1}{3}, b = -1, c = \frac{2}{3}, d = -\frac{1}{3}$. Kiểm tra điều kiện: $a^2 + b^2 + c^2 - d = (-\frac{1}{3})^2 + (-1)^2 + (\frac{2}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 1 + \frac{4}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1+9+4+3}{9} = \frac{17}{9} > 0$. Vậy, đây là phương trình mặt cầu.
* Đáp án C không phải là phương trình mặt cầu vì có $-10xy$.
* Đáp án D có thể là phương trình mặt cầu. Chia cả hai vế cho 2, ta được: $x^2 + y^2 + z^2 - x - 3y + 2z + \frac{9}{2} = 0$. Khi đó, $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{2}, c = 1, d = \frac{9}{2}$. Kiểm tra điều kiện: $a^2 + b^2 + c^2 - d = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (1)^2 - \frac{9}{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1 - \frac{18}{4} = \frac{1+9+4-18}{4} = \frac{-4}{4} = -1 < 0$. Vậy, đây không là phương trình mặt cầu.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, với tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$.
Trong trường hợp này, tâm của mặt cầu là $I(2; 1; -3)$.
Kiểm tra các điểm:

• Điểm $Q(-2; -1; -1)$: Khoảng cách $IQ = \sqrt{(-2-2)^2 + (-1-1)^2 + (-1-(-3))^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} \neq 4$.
• Điểm $N(-2; -1; 3)$: Khoảng cách $IN = \sqrt{(-2-2)^2 + (-1-1)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} \neq 4$.
• Điểm $M(2; 1; -3)$: Khoảng cách $IM = \sqrt{(2-2)^2 + (1-1)^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{0 + 0 + 0} = 0 \neq 4$. Tuy nhiên, điểm $M$ trùng với tâm $I$ của mặt cầu. Điểm này thuộc mặt cầu nếu và chỉ nếu $R = 0$. Trong trường hợp này $R = 4$, suy ra $M$ thuộc mặt cầu.
• Điểm $P(2; 1; 1)$: Khoảng cách $IP = \sqrt{(2-2)^2 + (1-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{0 + 0 + 16} = 4$. Vậy $P$ thuộc mặt cầu.

Vậy, điểm $M(2; 1; -3)$ thuộc mặt cầu $(S)$. Điểm $P(2; 1; 1)$ cũng thuộc mặt cầu $(S)$. Do có sự nhầm lẫn về điểm $M$ nên chọn đáp án $M$ hoặc $P$ đều đúng. Ở đây chọn $M$ vì nó trùng với tâm mặt cầu đã cho.
Note: Thực ra, M là tâm của mặt cầu, nên M thuộc mặt cầu. Khoảng cách từ M đến M bằng 0, nên M thuộc mặt cầu. Khoảng cách từ P đến tâm I bằng 4 (bán kính), nên P thuộc mặt cầu.

Phương trình mặt cầu có dạng: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ hoặc $x^2 + y^2 + z^2 -2ax -2by -2cz + d = 0$ với $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Từ phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2z - 7 = 0$, ta có:

• $a = -1$
• $b = 0$
• $c = 1$
• $d = -7$

Vậy bán kính $R = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$.