Câu hỏi:

Gọi $S$ là diện tích thiết diện khi cắt trống bởi mặt phẳng vuông góc với trục và cách đều hai đáy.
Ta có $S = \pi r^2 = 4\pi \,\text{dm}^2$, suy ra $r = 2 \,\text{dm}$.


Thể tích trống là $V = \int_{-h}^{h} \pi (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx = \pi \int_{-h}^{h} (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx $,


trong đó $a = r - R = 2 - R$.
$V = \pi [ (R^2 + a)x - \frac{ax^3}{3h^2} ]_{-h}^{h} = \pi [ (R^2 + a)2h - \frac{2ah^3}{3h^2} ] = 2\pi h(R^2 + a - \frac{a}{3}) = 2\pi h(R^2 + \frac{2a}{3}) = 2\pi h (R^2 + \frac{2(2-R)}{3})$


Suy ra $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = \dfrac{2(R^2 + \frac{4}{3} - \frac{2R}{3})}{R^2} = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$.


Xét hàm $f(R) = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$ với $R=4$.
$\dfrac{V}{\pi R^2 h} = f(4) = 2 + \dfrac{8}{3 \cdot 4^2} - \dfrac{4}{3 \cdot 4} = 2 + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 2 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{6} \approx 1.83$.


Vậy giá trị cần tìm là 2.

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Ta có: $P(A) = P(\text{Lần 1 lỗi, lần 2 lỗi}) + P(\text{Lần 1 không lỗi, lần 2 lỗi})$

$P(A) = P(\text{Lần 1 lỗi})P(\text{Lần 2 lỗi}| \text{Lần 1 lỗi}) + P(\text{Lần 1 không lỗi})P(\text{Lần 2 lỗi} | \text{Lần 1 không lỗi})$

$P(A) = \frac{Y}{X} \cdot \frac{Y-1}{X-1} + \frac{X-Y}{X} \cdot \frac{Y}{X-1}$

$P(A) = \frac{Y(Y-1) + Y(X-Y)}{X(X-1)} = \frac{Y(Y-1 + X - Y)}{X(X-1)} = \frac{Y(X-1)}{X(X-1)} = \frac{Y}{X}$

Vậy xác suất sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là $\frac{Y}{X}$

Từ hình ảnh, ta có $X = 42$ và $Y = 2$. Vậy xác suất là $\frac{2}{42} = \frac{1}{21} \approx 0.0476 \approx 0.05$

Gọi $G(x_G; y_G; z_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có:

• $MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2$


• $= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2$


• $= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$


• $= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ (vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$)

$MA^2 + MB^2 + MC^2$ đạt giá trị lớn nhất khi $MG$ lớn nhất, tức là $M$ là giao điểm của đường thẳng qua $G$ vuông góc với $(Oxy)$ với $(Oxy)$. Do đó, $M$ có tọa độ $(x_G; y_G; 0)$. Vì vậy hoành độ của $M$ bằng hoành độ của $G$.


Ta có: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$.

Gọi $x$ là cạnh của lục giác đều.

Khi đó, chiều cao của lăng trụ là $\frac{\sqrt{3}}{6}a$.

Ta có: $3x + \frac{\sqrt{3}}{6}a = a \Rightarrow x = \frac{(6-\sqrt{3})a}{18}$.

Diện tích đáy của lăng trụ là: $S = 6.\frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}x^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\frac{(6-\sqrt{3})^2a^2}{18^2} = \frac{\sqrt{3}(36 - 12\sqrt{3} + 3)a^2}{2.324} = \frac{\sqrt{3}(39-12\sqrt{3})a^2}{648} = \frac{(39\sqrt{3} - 36)a^2}{648}$.

Thể tích lăng trụ là: $V = Sh = \frac{(39\sqrt{3} - 36)a^2}{648}.\frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{(117-36\sqrt{3})a^3}{3888}$.

Với $a=1$, $V = \frac{(117 - 36\sqrt{3})}{3888} \approx 0.016 m^3 = 16 dm^3$.

Vậy thể tích lớn nhất của khối lăng trụ là $16 dm^3$. Do đó không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài:

- Nếu đề bài cho $\frac{\sqrt{3}}{6}a$ dm thì V= 0.56224833142 ≈ 0.6 $dm^3$

Hoành độ của tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ là $x = \frac{-b}{3a}$.

Hàm số $y = x^3 - x^2 + x + 1$ có $a = 1, b = -1, c = 1, d = 1$.

$x = \frac{-(-1)}{3(1)} = \frac{1}{3}$

$y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1 - 3 + 9 + 27}{27} = \frac{34}{27}$

Vậy tọa độ tâm đối xứng là $I(\frac{1}{3}; \frac{34}{27})$.