Câu hỏi:

Thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng công thức: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] dx$, với $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm giới hạn hình phẳng và $a$, $b$ là cận tích phân.

Trong trường hợp này, $f(x) = x$, $g(x) = x^2$, $a = 0$, $b = 1$.

Vậy, $V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]|_{0}^{1} = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \pi (\frac{5-3}{15}) = \frac{2\pi}{15}$.


Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Để ý rằng đề bài hỏi thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn quanh trục $Ox$, và các đường $y = x^2, y = x, x = 0, x = 1$. Ta tính lại như sau:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_0^1 = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \pi \frac{2}{15}$. Đáp án này vẫn không có trong các lựa chọn.

Có lẽ có một sự nhầm lẫn trong các lựa chọn đáp án. Tuy nhiên nếu đề bài cho $y=x$ và $y=0$ thì ta sẽ được:

$V = \pi \int_{0}^{1} x^2 dx = \pi [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{\pi}{3}$. Đáp án này vẫn không có trong các lựa chọn.

Tuy nhiên, nếu chúng ta xét $V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - 2x^3 + x^4) dx = \pi[\frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}]_0^1 = \pi [\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}] = \pi [\frac{10 - 15 + 6}{30}] = \frac{\pi}{30}$ đáp án này vẫn không có trong các lựa chọn.

Nếu tính $V = \pi \int_{0}^{1} (x^2+x)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 + 2x^3 + x^2 dx = \pi [\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}]_0^1 = \pi [\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}] = \pi [\frac{6+15+10}{30}] = \frac{31\pi}{30}$.

Nếu tích $V = \pi \int_{0}^{1} (x^2-x) dx = \pi [\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}] = \pi [\frac{1}{3} - \frac{1}{2}] = \pi [\frac{2-3}{6}] = -\frac{\pi}{6}$. Do V luôn dương nên ta có thể tính trị tuyệt đối. $\frac{\pi}{6}$.

Đáp án D là gần nhất.

Ta có: $\log_3(9a) = \log_3 9 + \log_3 a = \log_3 3^2 + \log_3 a = 2 + \log_3 a$.

Đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 3)$.

Vậy đáp án đúng là A.

Ta có: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$.
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ là: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Vậy, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=2$ là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 2^2 = 4$.