Câu hỏi:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left(P \right):2x-y-2z+1=0$ . Đường thẳng nằm trong $\left(P \right)$ , cắt và vuông góc với $d$ có phương trình

\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-1}{1}

\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}

\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{1}

\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+3}{1}

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và đường thẳng cần tìm.
Vì $A$ thuộc $d$ nên $A(1+t; -t; 2+t)$.
Vì $A$ thuộc $(P)$ nên $2(1+t) - (-t) - 2(2+t) + 1 = 0 \Rightarrow 2 + 2t + t - 4 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow t = 1$.
Vậy $A(2; -1; 3)$.
Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_d} = (1; -1; 1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n_P} = (2; -1; -2)$.
Đường thẳng cần tìm vuông góc với $d$ và nằm trong $(P)$ nên có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d}, \overrightarrow{n_P}] = (3; 4; 1)$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{1}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 8: Nhận biết và lập phương trình đường thẳng trong không gian

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Đường thẳng ${d}'$ đối xứng với $d$ qua mặt phẳng $\left(Oyz \right)$ có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$. Phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ biến điểm $(x, y, z)$ thành điểm $(-x, y, z)$.

Do đó, đường thẳng $d': \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $d: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.

Câu 16:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ , với $A(2;-1;-2),\,B\left(1;2;-3 \right)$ và $C(2;3;0)$ . Đường cao đi qua $A$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow{BC} = (1, 1, 3)$.
Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường cao kẻ từ $A$ là:
$\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{3}$

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và $d_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $\left(P \right):x+y+z-7=0$ và cắt $d_1,\,d_2$ lần lượt tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\

$d_1$ đi qua $M_1(1;0;-2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (2;1;-1)$

$d_2$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1;3;-2)$

Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Do $\Delta$ song song với $(P): x+y+z-7=0$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$

$\Rightarrow a+b+c = 0$ (*)

Do $\Delta$ cắt $d_1, d_2$ tại $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất nên $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1, d_2$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_2}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2a+b-c = 0 \\ a+3b-2c = 0 \end{cases}$ (**)

Giải (*) và (**), ta có: $\begin{cases} a = t \\ b = 0 \\ c = -t \end{cases}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;0;-1)$

$\overrightarrow{M_1M_2} = (0;-2;4)$

$\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u_1} \right] = ( -1; 1; -1)$

$d(d_1, d_2) = \dfrac{\left| \overrightarrow{M_1M_2}. \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|} = \dfrac{\left| 0.(-1) + (-2).1 + 4.(-1) \right|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ và song song với $\Delta$ là:

$a(x-1) + b(y-0) + c(z+2) = 0 \\ \overrightarrow{n_P} = \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u} \right] = (-1;1;1)$

$(-1)(x-1) + 1(y-0) + 1(z+2) = 0 \\ -x+1+y+z+2 = 0 \\ -x+y+z+3 = 0$

$
$\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;0;-1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$1(x-1) + 0(y+2) -1(z-2) = 0 \\ x-z + 1 = 0$

$\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$

$\begin{cases} -x+y+z+3 = 0 \\ x-z+1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -4 \\ z = x+1 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x = t \\ y = -4 \\ z = t+1 \end{cases}$

Chọn $t=6$ ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & x=6-t \\& y=\dfrac{5}{2} \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right.$

Câu 18:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ , $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+3}{-2}$ và $d_2:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vì $\Delta // d$ nên $\overrightarrow{u}$ cũng là vector chỉ phương của $\Delta$.

Gọi $A(2a; a-1; -2a-3) \in d_1$ và $B(b-2; -3b+3; 2b) \in d_2$.

Khi đó $\overrightarrow{AB} = (b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3)$.

Vì $\Delta$ đi qua $A$ và $B$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{u}$ hay $(b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3) = k.(1;2;3)$.

$\Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2k \\ 2b+2a+3 = 3k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2(b-2a-2) \\ 2b+2a+3 = 3(b-2a-2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ 5b-5a = 12 \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ \dfrac{12}{5} + a - 8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ -7a = \dfrac{33}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = -\dfrac{9}{35} \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases}$

$\Rightarrow A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và $B(-\dfrac{79}{35}; \dfrac{132}{35}; -\dfrac{18}{35})$.

$\overrightarrow{AB} = (-\dfrac{13}{35}; \dfrac{200}{35}; -\dfrac{22}{35}) = -\dfrac{1}{35}.(13; -200; 22)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

$\Delta$ đi qua $A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

Phương trình $\Delta: \begin{cases} x = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ y = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ z = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases}$.

Xét điểm $A(4;10;17)$, ta có $\begin{cases} 4 = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ 10 = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ 17 = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases} \Leftrightarrow t = \dfrac{186}{455}$.

Vậy $A(4;10;17)$ thuộc $\Delta$.

Câu 19:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $\left(d_1 \right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$ , $\left(d_2 \right):\left\{ \begin{aligned}& x=2-t \\& y=3+t \\& z=4+t \end{aligned} \right.$ ( $t$ là tham số) và mặt phẳng $\left(P \right):x-y+z-6=0$ . Đường thẳng $\left(d \right)$ song song $\left(P \right)$ , cắt $\left(d_1 \right)$ và $\left(d_2 \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB=3\sqrt{6}$ . Phương trình của $\left(d \right)$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $A(1+2a;-2+a;2-2a) \in d_1$ và $B(2-b;3+b;4+b) \in d_2$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1-2a-b;5+b-a;2+b+2a)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A, B$ song song với $(P)$ nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P}=(1;-1;1)$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_P}=0 \Leftrightarrow 1-2a-b-5-b+a+2+b+2a=0 \Leftrightarrow a-b-2=0 \Leftrightarrow a=b+2$ (1).
Mặt khác, $AB=3\sqrt{6}$ nên:
$(1-2a-b)^2+(5+b-a)^2+(2+b+2a)^2=54$ (2).
Thay (1) vào (2), ta được:
$(1-2(b+2)-b)^2+(5+b-b-2)^2+(2+b+2(b+2))^2=54 \Leftrightarrow (-3b-3)^2+3^2+(3b+6)^2=54 \Leftrightarrow 9(b+1)^2+9+9(b+2)^2=54 \Leftrightarrow (b+1)^2+1+(b+2)^2=6 \Leftrightarrow b^2+2b+1+1+b^2+4b+4=6 \Leftrightarrow 2b^2+6b=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}&b=0 \\&b=-3 \end{aligned} \right.$
*Với $b=0 \Rightarrow a=2 \Rightarrow A(5;0;-2) \Rightarrow B(2;3;4) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;3;6)$ (loại).
*Với $b=-3 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow A(-1;-3;4) \Rightarrow B(5;0;1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(6;3;-3)$.
Khi đó đường thẳng $d$ đi qua $B(5;0;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ hay $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$.

Câu 20:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A\left(-4;-3;3 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right):x+y+z=0$ . Đường thẳng đi qua $A$ , cắt trục $Oz$ và song song với $\left(P \right)$ có phương trình là

Lời giải: