Câu hỏi:

Tính tổng $S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9$ (số hạng cuối có n số 9) ta được kết quả là

$S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n$.

$S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} + n$.

\[S = \frac{{{{10}^n} + 1}}{9} - n\].

$S = \frac{{{{10}^n} - 1}}{9} + n$.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có thể viết lại tổng $S$ như sau:
$S = (10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ... + (10^n - 1)$
$S = (10 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^n) - (1 + 1 + 1 + ... + 1)$ (n số 1)
$S = 10(1 + 10 + 10^2 + ... + 10^{n-1}) - n$
Xét tổng $1 + 10 + 10^2 + ... + 10^{n-1}$ là một cấp số nhân có $u_1 = 1$, $q = 10$, số số hạng là $n$.
Vậy $1 + 10 + 10^2 + ... + 10^{n-1} = \frac{1(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10^n - 1}{9}$
Do đó, $S = 10.\frac{10^n - 1}{9} - n = \frac{10(10^n - 1)}{9} - n$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Cấp số cộng và cấp số nhân - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 12:

Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi cấp số nhân là $(u_n)$ với công bội $q$ và số hạng đầu $u_1$. Ta có:

$u_2 = u_1 * q = 4$

$u_6 = u_1 * q^5 = 64$

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:
$\frac{u_1 * q^5}{u_1 * q} = \frac{64}{4} => q^4 = 16 => q = \pm 2$

Nếu $q = 2$, thì $u_1 = \frac{4}{2} = 2$. Vậy $u_n = u_1 * q^{n-1} = 2 * 2^{n-1} = 2^n$.

Nếu $q = -2$, thì $u_1 = \frac{4}{-2} = -2$. Vậy $u_n = u_1 * q^{n-1} = -2 * (-2)^{n-1} = (-2)^n$.
Vì $u_2 = 4$ nên loại trường hợp $q = -2$.
Vậy $u_n = 2^n$.

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_5} = - 15\], \[{u_{20}} = 60\].

a) Cấp số cộng có công sai $d = 5$.

b) Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - 35$.

c) Cấp số cộng có số hạng thứ $15$ là ${u_{15}} = 25$.

d) Cấp số cộng có $28$ số hạng nhỏ hơn $100$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}u_5 = u_1 + 4d = -15 \\ u_{20} = u_1 + 19d = 60\end{cases}$
Giải hệ phương trình, ta được:
$\begin{cases}u_1 = -35 \\ d = 5\end{cases}$
a) $d = 5$ là đúng.
b) $u_1 = -35$ là đúng.
c) $u_{15} = u_1 + 14d = -35 + 14*5 = -35 + 70 = 35 \neq 25$. Vậy câu c sai.
d) $u_n < 100 \Leftrightarrow u_1 + (n-1)d < 100 \Leftrightarrow -35 + (n-1)5 < 100 \Leftrightarrow 5(n-1) < 135 \Leftrightarrow n-1 < 27 \Leftrightarrow n < 28$. Vậy có 28 số hạng nhỏ hơn 100 là sai. Sửa lại là $n \le 28$. Vậy câu d sai.
Vậy a đúng, b đúng, c sai, d sai.

Câu 14:

Người ta trồng $900$ cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 2 cây.

a) Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 1$.

b) Hàng thứ ba có $5$ cây.

c) Hàng thứ $11$ nhiều hơn hàng thứ $5$ là $9$ cây.

d) Hàng cuối cùng có 60 cây

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và công sai $d = 2$.

Câu a sai vì công sai $d = 2$ chứ không phải $d = 1$.

Câu b đúng vì $u_3 = u_1 + 2d = 1 + 2(2) = 5$.

Câu c đúng vì $u_{11} - u_5 = (u_1 + 10d) - (u_1 + 4d) = 6d = 6(2) = 12$, vậy hàng 11 nhiều hơn hàng 5 là 12 cây, không phải 9 cây, do đó câu này sai.

Để tìm số hàng, ta cần tìm $n$ sao cho tổng số cây là 900. Tổng số cây là $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = n^2$. Vậy $n^2 = 900$, suy ra $n = 30$. Số cây ở hàng cuối cùng là $u_{30} = u_1 + (30-1)d = 1 + 29(2) = 59$. Vậy hàng cuối cùng có 59 cây, không phải 60 cây, do đó câu này sai.

Vậy câu a sai.

Câu 15:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} + {u_5} = 51,\,\,{u_2} + {u_6} = 102$.

a) Số hạng ${u_1} = 3$.

b) Số hạng \[{u_4} = 48\].

c) Số $12\,288$ là số hạng thứ 12 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là $765$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 16:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết công bội bằng $2$, ${u_n} = 2048$ và ${S_n} = 4092$.

a) ${u_{n - 1}} = 1042$.

b) ${u_1} \cdot {2^n} = 4096$.

c) \[{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 2044\].

d) Số hạng thứ bảy của cấp số là ${u_7} = 526$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$, với $q$ là công bội.

Trong trường hợp này, $q = 2$, $u_n = 2048$, và $S_n = 4092$.

Ta có $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$.

$S_n = u_1\frac{1-2^n}{1-2} = u_1(2^n - 1) = 4092$.

Từ $u_1 \cdot 2^{n-1} = 2048$ suy ra $u_1 \cdot 2^n = 2 \cdot 2048 = 4096$.

Thay vào công thức $S_n$ ta có: $\frac{u_1 \cdot 2^n}{2} - u_1 = 2048 - u_1 = 2048 - 4 = 2044$

Suy ra $S_n = u_1(2^n - 1) = 4092 \Rightarrow u_1 2^n - u_1 = 4092 \Rightarrow 4096 - u_1 = 4092 \Rightarrow u_1 = 4$. Do đó $u_1 + u_2 + ... + u_{n-1} = S_n - u_n = 4092 - 2048 = 2044$.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có ${u_2} - 2{u_5} = 13$ và ${u_1} + 3{u_4} = 5$. Khi đó, số hạng thứ $2025$ của cấp số cộng là $a$. Tính giá trị của biểu thức $P = 1 - a$

Lời giải: