Câu hỏi:

Gọi $r$ là bán kính đáy cốc, $h$ là chiều cao của cốc.
Thể tích của cốc là: $V = \pi r^2 h = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (8\sqrt{3}) = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 8\sqrt{3} = 100\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích nước trong cốc là: $V_n = \frac{1}{4}V = 25\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích phần còn trống của cốc là: $V_t = V - V_n = 100\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Để con quạ uống được nước, mực nước phải dâng lên ít nhất đến độ cao $8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm.
Thể tích cần thiết để mực nước đạt đến độ cao đó là $V_{can} = \pi r^2 (6\sqrt{3}) - V_n = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 6\sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2}\pi \sqrt{3} - 25\pi\sqrt{3} = \frac{25}{2}\pi \sqrt{3} $ $\pi \sqrt{3}(37.5 - 25) = 12.5\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích một viên sỏi là: $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3}) = 4\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Số viên sỏi cần thả vào là: $n = \frac{12.5\pi \sqrt{3}}{4\pi \sqrt{3}} = \frac{12.5}{4} = 3.125$. Vì số viên sỏi phải là số nguyên nên cần ít nhất 4 viên sỏi.
Nhưng mà mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$. Do đó thể tích cần thiết là $V_{can} = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2} \pi \sqrt{3} - 25 \pi \sqrt{3} = \frac{25}{2} \pi \sqrt{3} \approx 68.00 \text{cm}^3$
Số viên sỏi cần là $\frac{68}{4\pi \sqrt{3}} \approx \frac{68}{21.76} \approx 3.125$. Vậy cần 4 viên.
Chiều cao của mực nước sau khi bỏ $x$ viên sỏi là $h_x = \frac{V_n + xV_s}{\pi r^2} = \frac{25\pi \sqrt{3} + x4\pi \sqrt{3}}{\pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3}}{\frac{50}{4}} = \frac{4(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{50} = \frac{2(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{25} = 2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25}$
Để mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$ thì $8\sqrt{3} - h_x \le 2\sqrt{3}$ hay $h_x \ge 6\sqrt{3}$
$2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 6\sqrt{3}$ suy ra $\frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 4\sqrt{3}$ suy ra $8x \ge 100$ suy ra $x \ge 12.5$. Vậy cần ít nhất 13 viên.

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ($0 < x \le 400$, $x$ nguyên).

Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là:

Chi phí vận hành: $65000x$

Chi phí nguyên vật liệu:

• Nếu $x \le 200$: $7000000(1 - 0.01x) = 7000000 - 70000x$
• Nếu $x > 200$: Chi phí cho 200 sản phẩm đầu: $7000000(1 - 0.01 \cdot 200) = 7000000(0.98) = 6860000$ (đồng)
  Chi phí cho $x-200$ sản phẩm sau: $7000000(x-200)(1-0.02) = 0.98 \cdot 7000000(x-200)$

Vậy, nếu $x > 200$, chi phí nguyên vật liệu là $6860000 + 7000000(x-200)(0.98) = 6860000 + 6860000(x-200) = 6860000(1 + x - 200) = 6860000(x - 199)$

Tổng chi phí $C(x)$:

• Nếu $x \le 200$: $C(x) = 65000x + 7000000 - 70000x = -5000x + 7000000$
• Nếu $x > 200$: $C(x) = 65000x + 6860000(x - 199) = 65000x + 6860000x - 6860000 \cdot 199 = 6925000x - 1365140000$

Doanh thu $R(x) = -x^2/40 + 21x$

Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$

• Nếu $x \le 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x + 5000x - 7000000 = -x^2/40 + 5021x - 7000000$
• Nếu $x > 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x - 6925000x + 1365140000 = -x^2/40 - 6924979x + 1365140000$

Xét $P'(x)$:

• Nếu $x \le 200$: $P'(x) = -x/20 + 5021$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 100420$. Loại vì $x \le 200$.
• Nếu $x > 200$: $P'(x) = -x/20 - 6924979$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -138499580$. Loại vì $x > 200$.

Vì $P'(x)$ không có nghiệm trong khoảng đang xét, ta xét các giá trị đầu mút $x=200$ và $x = 400$.
Với $x=200$ ta có $P(200) = -200^2/40 + 5021(200) - 7000000 = -1000 + 1004200 - 7000000 = -5996800$ (đồng)
Với $x=400$ ta có $P(400) = -400^2/40 - 6924979(400) + 1365140000 = -4000 - 2769991600 + 1365140000 = -1404855600$ (đồng)
Vậy hàm này không có giá trị lớn nhất. Xem lại đề bài.

Kiểm tra lại hàm doanh thu: $R(x) = -1/40 x^2 + 21x$.
Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $7000000$ đồng.
Chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là $65000$.
Giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu, giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo.

Gọi $x$ là số sản phẩm. $C(x) = 65000x + 7000000(1 - 0.01 \cdot 200 - 0.02(x-200)) = 65000x + 7000000(0.98 - 0.02x + 4) = 65000x + 7000000(1.02-0.02(x-200))$ nếu $x > 200$.
$C(x) = 65000x + 7000000 - 70000\cdot x= -5000x + 7000000$ nếu $x \le 200$.
$P(x) = R(x) - C(x)$
Nếu $x \le 200$: $P(x) = (-x^2)/40 + 21x - (-5000x + 7000000) = -x^2/40 + 5021x - 7000000$
$P'(x) = -x/20 + 5021 = 0$, $x = 100420$, loại.
$P(200) = -1000 + 5021\cdot 200 - 7000000 = -5996800 < 0$.
Nếu $x > 200$: Chi phí nguyên vật liệu là $7000000(0.98 - 0.02(x-200))$. $C(x) = 65000x + 7000000(0.98) = 6860000$

Doanh thu: $R(x) = -x^2/40 + 21x$
Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = -x^2/40 + 21x - (65000x + 7000000(1-200\cdot 0.01 - (x-200) \cdot 0.02 ))$
Chi phí nguyên vật liệu: $NVL(x) = 7000000(1 - 0.01 \cdot MIN(x,200) - MAX(0, x-200) \cdot 0.02)$
$C(x) = 65000x + NVL(x)$

Nếu $x < 200$, doanh thu lớn nhất là $x = 200$. Ta có $x = 350$ cho lợi nhuận lớn nhất.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có vector chỉ phương $\vec{u} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = (0, 0, 0)$ (hai mặt phẳng song song).
Vì $(\alpha)$ song song với giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ nên $(\alpha)$ song song với $(P)$ và $(Q)$, do đó $(\alpha)$ có dạng $x + y + z + d = 0$.
Vì $(\alpha)$ tiếp xúc với $(S)$ nên $d(I, (\alpha)) = R = 3$, với $I(1, 1, 1)$ là tâm mặt cầu.
$\Rightarrow \frac{|1 + 1 + 1 + d|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = 3 \Rightarrow |3 + d| = 3\sqrt{3} \Rightarrow d = -3 \pm 3\sqrt{3}$
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $(\alpha_1): x + y + z - 3\sqrt{3} - 3 = 0$ và $(\alpha_2): x + y + z + 3\sqrt{3} - 3 = 0$.
$d(M, (\alpha_1)) = \frac{|1 - 1 + 0 - 3\sqrt{3} - 3|}{\sqrt{3}} = \frac{|-3\sqrt{3} - 3|}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3}} = 3 + \sqrt{3} \approx 4.7$
$d(M, (\alpha_2)) = \frac{|1 - 1 + 0 + 3\sqrt{3} - 3|}{\sqrt{3}} = \frac{|3\sqrt{3} - 3|}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3} \approx 1.3$
Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng song song $(\alpha)$ và đi qua $M$, có dạng $x+y+z=0$.
Khoảng cách từ M đến $(\alpha)$ lớn nhất khi $(\alpha)$ nằm khác phía với $(\beta)$ so với tâm I.
Vậy $d_{max} = d(M, (\alpha_1)) = \frac{|(1-1+0) - (1+1+1)|}{\sqrt{3}} + 6 = 3/\sqrt{3} + 6 = \sqrt{3} + 6 $
Hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài là $x+y+z -3 - 3\sqrt{3} = 0$ và $x+y+z -3 + 3\sqrt{3} = 0$
Khoảng cách từ M đến $(\alpha)$ là $|1 + (-1) + 0 - 3 \pm 3\sqrt{3}|/\sqrt{3} = |-3 \pm 3\sqrt{3}|/\sqrt{3} = |-3(1 \pm \sqrt{3})|/\sqrt{3} = 3|1\pm \sqrt{3}|/\sqrt{3}$
Khi $(\alpha)$ là $x+y+z -3 - 3\sqrt{3} = 0$ thì khoảng cách là $3(1+\sqrt{3})/\sqrt{3} = 3 + \sqrt{3} \approx 4.732 < 3 + 3\sqrt{3} \approx 8.19$
Khoảng cách lớn nhất khi $(\alpha)$ tiếp xúc tại điểm xa M nhất. Điểm này cách M: R + d(I, (P hoac Q))

Gọi A là biến cố "2 bi lấy từ hộp I không cùng màu".

Gọi B là biến cố "Viên bi lấy từ hộp II là bi trắng".

Ta cần tính P(A|B).

Ta có: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$P(A) = \frac{C_5^1 C_7^1}{C_{12}^2} = \frac{5.7}{66} = \frac{35}{66}$

$P(\overline{A}) = 1 - \frac{35}{66} = \frac{31}{66}$

Trường hợp 1: Lấy 2 bi trắng từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_1 = \frac{C_5^2}{C_{12}^2} = \frac{10}{66}$

Khi đó, hộp II có 12 bi trắng và 15 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{12}{27}$.

Trường hợp 2: Lấy 2 bi đỏ từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_2 = \frac{C_7^2}{C_{12}^2} = \frac{21}{66}$

Khi đó, hộp II có 10 bi trắng và 17 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{10}{27}$.

Trường hợp 3: Lấy 1 bi trắng và 1 bi đỏ từ hộp I chuyển sang hộp II. Xác suất là: $P_3 = \frac{C_5^1 C_7^1}{C_{12}^2} = \frac{35}{66}$

Khi đó, hộp II có 11 bi trắng và 16 bi đỏ. Xác suất lấy được bi trắng là $\frac{11}{27}$.

$P(B) = P_1.\frac{12}{27} + P_2.\frac{10}{27} + P_3.\frac{11}{27} = \frac{10}{66}.\frac{12}{27} + \frac{21}{66}.\frac{10}{27} + \frac{35}{66}.\frac{11}{27} = \frac{120 + 210 + 385}{66.27} = \frac{715}{1782} = \frac{65}{162}$

$P(A \cap B) = P(A) . P(B|A) = \frac{35}{66} . \frac{11}{27} = \frac{385}{1782} = \frac{35}{162}$

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{35/162}{65/162} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}$

Vậy a = 7, b = 13, a + b = 20.
Sai đề bài

Tính xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp I không cùng màu, biết viên bi lấy từ hộp II là bi trắng.

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{35}{66} \cdot \frac{11}{27}}{\frac{65}{162}} = \frac{\frac{35}{66} \cdot \frac{11}{27}}{\frac{65}{162}} = \frac{\frac{385}{1782}}{\frac{715}{1782}} = \frac{385}{715} = \frac{7}{13}$

Vậy số cần tìm là 7 + 13 = 20.

Đề sai, sửa thành tính $P(B|A)$

Khi đó: $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(A)} = \frac{\frac{11}{27} \cdot \frac{35}{66}}{\frac{35}{66}} = \frac{11}{27}$

a = 11, b = 27. a + b = 38

Đề sai.

Nếu hỏi xác suất để lấy được bi trắng khi biết 2 viên lấy ra không cùng màu:

Thì $P(B|A) = \frac{11}{27}$

$a+b = 11 + 27 = 38$

Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I không cùng màu:

$P(A) = \frac{35}{66}$

$a+b = 35+66 = 101$

Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp I không cùng màu khi biết lấy từ hộp II được bi trắng:

$P(A|B) = \frac{7}{13}$

$a+b = 7+13 = 20$

Nếu hỏi xác suất để 2 viên bi lấy từ hộp I có cùng màu:

$P(\overline{A}) = \frac{31}{66}$

$a+b = 31 + 66 = 97$