Câu hỏi:
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\).
b) \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = 0\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;1} \right\}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) là \(0\).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Đây là một câu hỏi Đúng/Sai, không phải trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Do đó, không có một 'đáp án' duy nhất nào cho toàn bộ câu hỏi. Cần phải xác định Đúng/Sai cho từng phần a), b), c), d).
a) $f'(x) = e^{x^2-1} * 2x - 2x = 2xe^{x^2-1} - 2x$. Vậy a) là ĐÚNG.
b) $f(0) = e^{0-1} - 0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$. $f(1) = e^{1-1} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Vậy b) là ĐÚNG.
c) $f'(x) = 2xe^{x^2-1} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(e^{x^2-1} - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $e^{x^2-1} = 1 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x = \pm 1$. Vậy tập nghiệm là $\{-1, 0, 1\}$. Vậy c) là SAI.
d) Xét hàm số trên khoảng $(-1, 1)$. Ta có $f'(x) = 0$ tại $x = -1, 0, 1$. Trong khoảng $(-1, 1)$, ta chỉ xét $x=0$.
Ta có $f(0) = \frac{1}{e} \approx 0.368$. $f(1) = f(-1) = 0$. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1, 1)$ là 0. Vậy d) là ĐÚNG.
a) $f'(x) = e^{x^2-1} * 2x - 2x = 2xe^{x^2-1} - 2x$. Vậy a) là ĐÚNG.
b) $f(0) = e^{0-1} - 0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$. $f(1) = e^{1-1} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Vậy b) là ĐÚNG.
c) $f'(x) = 2xe^{x^2-1} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(e^{x^2-1} - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $e^{x^2-1} = 1 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x = \pm 1$. Vậy tập nghiệm là $\{-1, 0, 1\}$. Vậy c) là SAI.
d) Xét hàm số trên khoảng $(-1, 1)$. Ta có $f'(x) = 0$ tại $x = -1, 0, 1$. Trong khoảng $(-1, 1)$, ta chỉ xét $x=0$.
Ta có $f(0) = \frac{1}{e} \approx 0.368$. $f(1) = f(-1) = 0$. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1, 1)$ là 0. Vậy d) là ĐÚNG.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
* f(t) = 45t^2 - t^3
* f'(t) = 45 * 2t - 3t^2 = 90t - 3t^2
Vậy tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là f'(t) = 90t - 3t^2.
Kiểm tra các đáp án còn lại:
* Số người nhiễm bệnh từ ngày đầu tiên đến ngày thứ 13 là f(13) = 45(13)^2 - (13)^3 = 45 * 169 - 2197 = 7605 - 2197 = 5408 (người). Do đó, đáp án B sai.
* Số người nhiễm bệnh đến ngày thứ 45 là f(45) = 45(45)^2 - (45)^3 = 45^3 - 45^3 = 0. Tuy nhiên, câu hỏi đang hỏi về 'không còn ai nhiễm bệnh' chứ không phải là tổng số người nhiễm bệnh. Do đó, đáp án C sai.
* Xét sự biến thiên của f(t) trong 35 ngày đầu: f'(t) = 90t - 3t^2 = 3t(30 - t). f'(t) > 0 khi 0 < t < 30 và f'(t) < 0 khi t > 30. Vậy số người nhiễm bệnh tăng trong 30 ngày đầu và giảm sau đó. Do đó, đáp án D sai.
Vậy đáp án A đúng.
* f(t) = 45t^2 - t^3
* f'(t) = 45 * 2t - 3t^2 = 90t - 3t^2
Vậy tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là f'(t) = 90t - 3t^2.
Kiểm tra các đáp án còn lại:
* Số người nhiễm bệnh từ ngày đầu tiên đến ngày thứ 13 là f(13) = 45(13)^2 - (13)^3 = 45 * 169 - 2197 = 7605 - 2197 = 5408 (người). Do đó, đáp án B sai.
* Số người nhiễm bệnh đến ngày thứ 45 là f(45) = 45(45)^2 - (45)^3 = 45^3 - 45^3 = 0. Tuy nhiên, câu hỏi đang hỏi về 'không còn ai nhiễm bệnh' chứ không phải là tổng số người nhiễm bệnh. Do đó, đáp án C sai.
* Xét sự biến thiên của f(t) trong 35 ngày đầu: f'(t) = 90t - 3t^2 = 3t(30 - t). f'(t) > 0 khi 0 < t < 30 và f'(t) < 0 khi t > 30. Vậy số người nhiễm bệnh tăng trong 30 ngày đầu và giảm sau đó. Do đó, đáp án D sai.
Vậy đáp án A đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Xét từng mệnh đề:
a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{-2\}$ là đúng.
b) Ta có $y = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} = x - 1 + \frac{1}{x + 2}$. Để đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(a;b)$, ta cần tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\vec{OI}$ để hàm số trở thành hàm số lẻ. Khi đó $x = X + a$ và $y = Y + b$. Thay vào phương trình hàm số ban đầu, ta được:
$Y + b = X + a - 1 + \frac{1}{X + a + 2} \Leftrightarrow Y = X + (a - 1 - b) + \frac{1}{X + a + 2}$.
Để hàm số này là hàm số lẻ, ta cần $a - 1 - b = 0$ và $a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = -2$ và $b = a - 1 = -3$.
Vậy tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, do đó mệnh đề b sai.
c) $y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 2 - x^2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = -3$.
$y(-1) = \frac{1 - 1 - 1}{-1 + 2} = -1$ và $y(-3) = \frac{9 - 3 - 1}{-3 + 2} = \frac{5}{-1} = -5$.
Vậy hai điểm cực trị là $A(-1;-1)$ và $B(-3;-5)$. Cả hai điểm này đều có tung độ âm, nên nằm cùng phía so với trục hoành. Do đó, mệnh đề c đúng.
d) Giao điểm với trục tung là $M(0;y(0)) = M(0;\frac{-1}{2})$.
$y'(0) = \frac{(0 + 1)(0 + 3)}{(0 + 2)^2} = \frac{3}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y - y(0) = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$. Do đó, mệnh đề d đúng.
a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{-2\}$ là đúng.
b) Ta có $y = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} = x - 1 + \frac{1}{x + 2}$. Để đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(a;b)$, ta cần tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\vec{OI}$ để hàm số trở thành hàm số lẻ. Khi đó $x = X + a$ và $y = Y + b$. Thay vào phương trình hàm số ban đầu, ta được:
$Y + b = X + a - 1 + \frac{1}{X + a + 2} \Leftrightarrow Y = X + (a - 1 - b) + \frac{1}{X + a + 2}$.
Để hàm số này là hàm số lẻ, ta cần $a - 1 - b = 0$ và $a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = -2$ và $b = a - 1 = -3$.
Vậy tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, do đó mệnh đề b sai.
c) $y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 2 - x^2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = -3$.
$y(-1) = \frac{1 - 1 - 1}{-1 + 2} = -1$ và $y(-3) = \frac{9 - 3 - 1}{-3 + 2} = \frac{5}{-1} = -5$.
Vậy hai điểm cực trị là $A(-1;-1)$ và $B(-3;-5)$. Cả hai điểm này đều có tung độ âm, nên nằm cùng phía so với trục hoành. Do đó, mệnh đề c đúng.
d) Giao điểm với trục tung là $M(0;y(0)) = M(0;\frac{-1}{2})$.
$y'(0) = \frac{(0 + 1)(0 + 3)}{(0 + 2)^2} = \frac{3}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y - y(0) = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$. Do đó, mệnh đề d đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
$f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2}$
$f(0) = 2\cos(0) + 0\sqrt{2} = 2$.
$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \pi\sqrt{2} = -2 + \pi\sqrt{2}$.
Vậy đáp án b đúng.
Xét $f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2} = 0$ trên $[0, \pi]$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4}$
Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm trên $[0, \pi]$.
Tính $f(0) = 2$, $f(\pi) = -2 + \pi\sqrt{2}$, $f(\frac{\pi}{4}) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{4}) = 2\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3\pi}{4}\sqrt{2} = -\sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$
Giá trị lớn nhất là $-2 + \pi\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là 2.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $\pi\sqrt{2}$.
$f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2}$
$f(0) = 2\cos(0) + 0\sqrt{2} = 2$.
$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \pi\sqrt{2} = -2 + \pi\sqrt{2}$.
Vậy đáp án b đúng.
Xét $f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2} = 0$ trên $[0, \pi]$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4}$
Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm trên $[0, \pi]$.
Tính $f(0) = 2$, $f(\pi) = -2 + \pi\sqrt{2}$, $f(\frac{\pi}{4}) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{4}) = 2\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3\pi}{4}\sqrt{2} = -\sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$
Giá trị lớn nhất là $-2 + \pi\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là 2.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $\pi\sqrt{2}$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$.
$y' = 3x^2 + 6x - 9$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) = 0$.
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -3$.
Khi đó, hai điểm cực trị là $A(-3, 26)$ và $B(1, -6)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - 26}{-6 - 26} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 26}{-32} \Leftrightarrow -32(x + 3) = 4(y - 26) \Leftrightarrow -32x - 96 = 4y - 104 \Leftrightarrow 4y = -32x + 8 \Leftrightarrow y = -8x + 2$.
Vậy $a = -8$ và $b = 2$, suy ra $a + b = -8 + 2 = -6$.
Cách khác: Vì $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$ nên $y' = 3x^2 + 6x - 9$. Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được $y = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{6})y' + (-6x - 4)$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -6x - 4$, suy ra $a = -6$ và $b = -4$. Vậy $a+b = -10$. Cả 2 cách đều không ra đáp án đúng, xem lại đề bài. Nếu đề bài sửa thành $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ thì $y = -6x + 7$, nên $a = -6, b = 7$, vậy $a+b = 1$. Không có đáp án đúng.
$y' = 3x^2 + 6x - 9$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) = 0$.
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -3$.
Khi đó, hai điểm cực trị là $A(-3, 26)$ và $B(1, -6)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - 26}{-6 - 26} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 26}{-32} \Leftrightarrow -32(x + 3) = 4(y - 26) \Leftrightarrow -32x - 96 = 4y - 104 \Leftrightarrow 4y = -32x + 8 \Leftrightarrow y = -8x + 2$.
Vậy $a = -8$ và $b = 2$, suy ra $a + b = -8 + 2 = -6$.
Cách khác: Vì $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$ nên $y' = 3x^2 + 6x - 9$. Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được $y = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{6})y' + (-6x - 4)$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -6x - 4$, suy ra $a = -6$ và $b = -4$. Vậy $a+b = -10$. Cả 2 cách đều không ra đáp án đúng, xem lại đề bài. Nếu đề bài sửa thành $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ thì $y = -6x + 7$, nên $a = -6, b = 7$, vậy $a+b = 1$. Không có đáp án đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $t_1$ là thời gian đi thuyền từ A đến C (giờ), $t_2$ là thời gian đi bộ từ C đến B (giờ), $t_3$ là thời gian đi bộ từ B về A (giờ). Ta có:
Ta có $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\triangle ABC$ vuông tại C. Do đó $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Suy ra:
$(1500t_1)^2 + BC^2 = 150^2 \Rightarrow BC = \sqrt{150^2 - (1500t_1)^2} = 150\sqrt{1 - 100t_1^2}$
Độ dài cung $C B$ là $150\cdot \alpha $, với $\alpha $ là số đo góc ở tâm chắn cung $C B$.
Ta có $sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1500t_1}{150} = 10t_1\Rightarrow \alpha = 2arcsin(10t_1)$
Thời gian đi bộ trên cung CB là: $t_2 = \dfrac{150\cdot 2arcsin(10t_1)}{3000} = \dfrac{arcsin(10t_1)}{10}$ (giờ).
Thời gian đi bộ trên đoạn AB là $t_3 = \dfrac{150}{3000} = 0,05$ (giờ).
Vậy tổng thời gian là:
$T = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + 0,05 + \dfrac{2}{60} = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ (giờ).
Xét hàm số $T(t_1) = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ trên $\[0;\dfrac{1}{10}\]$.
Ta có $T'(t_1) = 1 + \dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{10}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} > 0 \forall t_1 \in \left( {0;\dfrac{1}{10}} \right)$.
Do đó hàm $T(t_1)$ đồng biến trên $\left[ {0;\dfrac{1}{10}} \right]$.
Suy ra $T(t_1)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t_1 = 0$.
Vậy $T(0) = \dfrac{2}{15}$ (giờ) = 8 (phút).
Suy ra thời gian chậm nhất người đó về đến $A$ là: $8 + 2 + \dfrac{{\pi .150}}{{2.3000}}.60 = 10 + 4,71 = 102,5$ (phút).
- $AC = 1,5t_1$ (km) = $1500t_1$ (m)
- $AB = 150$ (m) = 0,15 (km)
- $BA = 0,15$ (km)
Ta có $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\triangle ABC$ vuông tại C. Do đó $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Suy ra:
$(1500t_1)^2 + BC^2 = 150^2 \Rightarrow BC = \sqrt{150^2 - (1500t_1)^2} = 150\sqrt{1 - 100t_1^2}$
Độ dài cung $C B$ là $150\cdot \alpha $, với $\alpha $ là số đo góc ở tâm chắn cung $C B$.
Ta có $sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1500t_1}{150} = 10t_1\Rightarrow \alpha = 2arcsin(10t_1)$
Thời gian đi bộ trên cung CB là: $t_2 = \dfrac{150\cdot 2arcsin(10t_1)}{3000} = \dfrac{arcsin(10t_1)}{10}$ (giờ).
Thời gian đi bộ trên đoạn AB là $t_3 = \dfrac{150}{3000} = 0,05$ (giờ).
Vậy tổng thời gian là:
$T = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + 0,05 + \dfrac{2}{60} = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ (giờ).
Xét hàm số $T(t_1) = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ trên $\[0;\dfrac{1}{10}\]$.
Ta có $T'(t_1) = 1 + \dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{10}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} > 0 \forall t_1 \in \left( {0;\dfrac{1}{10}} \right)$.
Do đó hàm $T(t_1)$ đồng biến trên $\left[ {0;\dfrac{1}{10}} \right]$.
Suy ra $T(t_1)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t_1 = 0$.
Vậy $T(0) = \dfrac{2}{15}$ (giờ) = 8 (phút).
Suy ra thời gian chậm nhất người đó về đến $A$ là: $8 + 2 + \dfrac{{\pi .150}}{{2.3000}}.60 = 10 + 4,71 = 102,5$ (phút).
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
