Câu hỏi:

Gọi $L(x)$ là lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất $x$ sản phẩm (triệu đồng).

Ta có:

• Doanh thu khi sản xuất $x$ sản phẩm là $(40x - \frac{x^2}{100})$ nghìn đồng, tức là $(40x - \frac{x^2}{100}) / 1000$ triệu đồng.


• Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $x(4 + \frac{x}{300})$ nghìn đồng, tức là $x(4 + \frac{x}{300}) / 1000$ triệu đồng.

Vậy, $L(x) = \frac{40x - \frac{x^2}{100}}{1000} - \frac{x(4 + \frac{x}{300})}{1000} = \frac{40x - \frac{x^2}{100} - 4x - \frac{x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{4x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$.

Ta cần tìm $x$ sao cho $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất và $0 \le x \le n$.
$L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000}$. Cho $L'(x) = 0$ ta được $36 = \frac{2x}{75}$, suy ra $x = \frac{36 \cdot 75}{2} = 18 \cdot 75 = 1350$.

Theo đề bài, doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 1200$ sản phẩm. Vậy, $0 \le x \le 1200$.
Ta xét $L(0) = 0$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200 - \frac{1440000}{75}}{1000} = \frac{43200 - 19200}{1000} = \frac{24000}{1000} = 24$.
Tuy nhiên, vì $x = 1350 > 1200$, ta cần xét $L(1200)$ là giá trị lớn nhất.
$L(x) = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1200$.
$L(1200) = 24$ (triệu đồng).

Nhưng đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận khi doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 300$ sản phẩm.
Khi đó $0 \le x \le 300$, $L(300) = \frac{36 \cdot 300 - \frac{300^2}{75}}{1000} = \frac{10800 - \frac{90000}{75}}{1000} = \frac{10800 - 1200}{1000} = \frac{9600}{1000} = 9.6$.
$L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000} = 0$ khi $x=1350$. Vì $x < 1350$ nên $L(x)$ tăng khi $x$ tăng. Vậy $L(x)$ lớn nhất khi $x=300$, và $L(300) = 9.6 \approx 10$.
Với $n = 150$, $L(150) = \frac{36*150 - \frac{150^2}{75}}{1000} = \frac{5400 - 300}{1000} = 5.1$.
Với $n = 300$, Lợi nhuận là: $L(300) = \frac{36*300 - (300^2)/75}{1000} = \frac{10800-1200}{1000} = 9.6$. Khi làm tròn, lợi nhuận lớn nhất là 10 triệu.

Với $n = 1200$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200-19200}{1000} = 24$,
Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm = 4 + x/300, x = 1200, chi phí này là 8.

Theo đề, $n = 300$ sản phẩm.
Doanh thu là: $40x - x^2/100 = 12000 - 90000/100 = 12000 - 900 = 11100$ nghìn đồng.
Chi phí là: $x*(4+x/300) = 300*(4+300/300) = 300*5 = 1500$ nghìn đồng.
Lợi nhuận là: $11100 - 1500 = 9600$ nghìn đồng = 9.6 triệu đồng.

Nếu $n=150$ sản phẩm
Doanh thu = $40*150 - 150^2/100 = 6000 - 225 = 5775$
Chi phí = $150 * (4 + 150/300) = 150 * 4.5 = 675$
Lợi nhuận = $5775 - 675 = 5100 = 5.1 triệu đồng.

Để tính được bán kính $r$ của đường tròn $(C)$, ta cần biết thêm thông tin về mặt cầu $(S)$ (ví dụ: tâm và bán kính) và vị trí điểm $A$ so với mặt cầu. Nếu không có thông tin này, không thể tính được $r$. Do đó, đáp án là không đủ dữ kiện.

Gọi $S$ là diện tích thiết diện khi cắt trống bởi mặt phẳng vuông góc với trục và cách đều hai đáy.
Ta có $S = \pi r^2 = 4\pi \,\text{dm}^2$, suy ra $r = 2 \,\text{dm}$.


Thể tích trống là $V = \int_{-h}^{h} \pi (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx = \pi \int_{-h}^{h} (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx $,


trong đó $a = r - R = 2 - R$.
$V = \pi [ (R^2 + a)x - \frac{ax^3}{3h^2} ]_{-h}^{h} = \pi [ (R^2 + a)2h - \frac{2ah^3}{3h^2} ] = 2\pi h(R^2 + a - \frac{a}{3}) = 2\pi h(R^2 + \frac{2a}{3}) = 2\pi h (R^2 + \frac{2(2-R)}{3})$


Suy ra $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = \dfrac{2(R^2 + \frac{4}{3} - \frac{2R}{3})}{R^2} = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$.


Xét hàm $f(R) = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$ với $R=4$.
$\dfrac{V}{\pi R^2 h} = f(4) = 2 + \dfrac{8}{3 \cdot 4^2} - \dfrac{4}{3 \cdot 4} = 2 + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 2 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{6} \approx 1.83$.


Vậy giá trị cần tìm là 2.

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Ta có: $P(A) = P(\text{Lần 1 lỗi, lần 2 lỗi}) + P(\text{Lần 1 không lỗi, lần 2 lỗi})$

$P(A) = P(\text{Lần 1 lỗi})P(\text{Lần 2 lỗi}| \text{Lần 1 lỗi}) + P(\text{Lần 1 không lỗi})P(\text{Lần 2 lỗi} | \text{Lần 1 không lỗi})$

$P(A) = \frac{Y}{X} \cdot \frac{Y-1}{X-1} + \frac{X-Y}{X} \cdot \frac{Y}{X-1}$

$P(A) = \frac{Y(Y-1) + Y(X-Y)}{X(X-1)} = \frac{Y(Y-1 + X - Y)}{X(X-1)} = \frac{Y(X-1)}{X(X-1)} = \frac{Y}{X}$

Vậy xác suất sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là $\frac{Y}{X}$

Từ hình ảnh, ta có $X = 42$ và $Y = 2$. Vậy xác suất là $\frac{2}{42} = \frac{1}{21} \approx 0.0476 \approx 0.05$

Gọi $G(x_G; y_G; z_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Ta có:

• $MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2$


• $= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2$


• $= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$


• $= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ (vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$)

$MA^2 + MB^2 + MC^2$ đạt giá trị lớn nhất khi $MG$ lớn nhất, tức là $M$ là giao điểm của đường thẳng qua $G$ vuông góc với $(Oxy)$ với $(Oxy)$. Do đó, $M$ có tọa độ $(x_G; y_G; 0)$. Vì vậy hoành độ của $M$ bằng hoành độ của $G$.


Ta có: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$.