Câu hỏi:

Ta có phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi }{6}$. Nghiệm của phương trình lượng giác này là: x = \frac{\pi }{6} + k2\pi hoặc x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi = \frac{5\pi }{6} + k2\pi. Xét trên đoạn [0;\pi ]: Với x = \frac{\pi }{6} + k2\pi, ta có k=0 thì x = \frac{\pi }{6} thuộc [0;\pi ]. Với x = \frac{5\pi }{6} + k2\pi, ta có k=0 thì x = \frac{5\pi }{6} thuộc [0;\pi ]. Vậy tổng các nghiệm trên đoạn [0;\pi ] là: \frac{\pi }{6} + \frac{5\pi }{6} = \frac{6\pi }{6} = \pi.

Để phương trình $\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026$ có nghiệm, ta cần:\
$\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) = m + 2026$\
Vì $-1 \le \sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) \le 1$, nên ta có:\
$-1 \le m + 2026 \le 1$\
$-2027 \le m \le -2025$\
Vậy, $m$ có thể nhận các giá trị nguyên là $-2027, -2026, -2025$. Có tất cả 3 giá trị nguyên của $m$.

Ta có phương trình: $\sin(2x - \frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$
$\Leftrightarrow \sin(2x - \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - x)) = \sin(\frac{\pi}{4} + x)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + x + k2\pi \\ 2x - \frac{3\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{4} + x) + k2\pi \end{cases}$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi + k2\pi \\ 3x = \frac{6\pi}{4} + k2\pi \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3} \end{cases}$
Xét $x = \pi + k2\pi$, vì $x \in (0; 2\pi)$ nên $0 < \pi + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$. Vậy $k = 0$ và $x = \pi$. (1 nghiệm)
Xét $x = \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3}$, vì $x \in (0; 2\pi)$ nên $0 < \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3} < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{3}{4} < k < \frac{9}{4}$. Vậy $k \in \{0, 1, 2\}$ và $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$. (3 nghiệm)
Vậy phương trình có $1 + 3 = 4$ nghiệm trong khoảng $(0; 2\pi)$.

Ta có $\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin x + 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x(1+2\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k\pi \\ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\end{array}\right.$
Xét $x = k\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 0, 1, 2$. Suy ra $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$
Xét $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 0$. Suy ra $x = \frac{2\pi}{3}$
Xét $x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 1$. Suy ra $x = \frac{4\pi}{3}$
Vậy tổng các nghiệm là $0 + \pi + 2\pi + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 5\pi$.

Ta có: ${4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {({2^2})^{x - 1}} = {({2^3})^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 2}} = {2^{9 - 6x}} \Leftrightarrow 2x - 2 = 9 - 6x \Leftrightarrow 8x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}$.
Vậy đáp án là A.