Câu hỏi:

Phương án c) sai. Ta có phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ theo đoạn chắn là: $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{-3} = 1$.
Phương trình đường thẳng $MN$ đi qua $M(1;2;0)$ và $N(6;0;-3)$ là: $\begin{cases}x = 1 + 5t\ y = 2 - 2t\ z = -3t\end{cases}$.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(\alpha)$ thỏa mãn:
$\dfrac{1 + 5t}{6} + \dfrac{2 - 2t}{4} + \dfrac{-3t}{-3} = 1 \Leftrightarrow t = -\dfrac{2}{11}$. Vậy máy bay không đi qua lớp mây.

Đề bài không cung cấp đủ thông tin để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$. Cần thêm thông tin về kích thước của hình chữ nhật $ABCD$ hoặc độ dài cạnh $SA$.

Để tìm quãng đường ngắn nhất, ta cần xét tất cả các lộ trình có thể đi qua 4 kho hàng $A, B, C, D$ và quay lại $A$, mỗi kho đúng một lần. Các lộ trình có thể là:

• $A → B → C → D → A$: $4 + 6 + 7 + 11 = 28$


• $A → B → D → C → A$: $4 + 5 + 7 + 8 = 24$


• $A → C → B → D → A$: $8 + 6 + 5 + 11 = 30$


• $A → C → D → B → A$: $8 + 7 + 5 + 4 = 24$


• $A → D → B → C → A$: $11 + 5 + 6 + 8 = 30$


• $A → D → C → B → A$: $11 + 7 + 6 + 4 = 28$

Tuy nhiên, do tính đối xứng của đồ thị, ta chỉ cần xét một nửa số lộ trình, ví dụ:

• $A → B → C → D → A$: $4 + 6 + 7 + 11 = 28$


• $A → B → D → C → A$: $4 + 5 + 7 + 8 = 24$


• $A → C → B → D → A$: $8 + 6 + 5 + 11 = 30$

Ta cũng cần xét các lộ trình ngược lại của chúng, nhưng tổng độ dài không thay đổi.
So sánh các kết quả, quãng đường ngắn nhất là 24 km.

Gọi tọa độ điểm $M$ là $(x_M; y_M; z_M)$ và tọa độ điểm $N$ là $(x_N; y_N; z_N)$.
Vectơ $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$.
Vì viên đạn bay trong 4 giây với vận tốc $\overrightarrow{v} = (6; -10; 8)$ nên:
$\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{v} = (24; -40; 32)$.
Độ dài đoạn $MN$ là:
$MN = \sqrt{24^2 + (-40)^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1600 + 1024} = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57$
Nhưng câu hỏi đã sửa lại, ta có $\overrightarrow{v} = (6; -10; 8)$. Vì viên đạn bay trong 4 giây với vận tốc $\overrightarrow{v}$ nên:
$\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{v} = 4(6; -10; 8) = (24; -40; 32)$
Độ dài đoạn $MN$ là:
$MN = \sqrt{24^2 + (-40)^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1600 + 1024} = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57$
Đề bài có vẻ có vấn đề vì không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, có vẻ các đáp án cho độ lớn vận tốc, do đó ta tính độ lớn vận tốc:
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{6^2 + (-10)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 100 + 64} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$
Trong 4 giây, viên đạn đi được $4 \times 14.14 = 56.56$ (cũng không có đáp án)
Nếu đáp án là độ lớn của hình chiếu của $\overrightarrow{MN}$ xuống $Oxy$ thì ta có $\sqrt{24^2 + (-40)^2} = \sqrt{576 + 1600} = \sqrt{2176} \approx 46.65$
Nếu ta tính $4 \sqrt{6^2 + (-10)^2} = 4 \sqrt{136} \approx 46.66$
Bài này chắc chắn có vấn đề, các đáp án không liên quan đến dữ kiện.
Nếu hỏi độ dài $MN$ thì phải là $56.57$.
Nếu hỏi độ lớn vận tốc thì là $14.14$.
Nếu hỏi độ dài hình chiếu xuống $Oxy$ thì $46.66$.
Xét trường hợp yêu cầu tính khoảng cách vật đi được theo $Ox$, $Oy$, $Oz$ rồi cộng lại:
$4(6+10+8) = 4(24) = 96$
Có lẽ đề hỏi $\frac{1}{4} MN$, khi đó:
$\frac{1}{4}MN = \frac{1}{4} \sqrt{3200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$
Nếu hỏi khoảng cách từ hình chiếu của điểm N xuống mặt phẳng $(Oxy)$ thì kết quả là $z=32$ (không có đáp án).
Tóm lại bài này có vấn đề, các đáp án không liên quan.
Cập nhật: Chắc là đề yêu cầu $\frac{MN}{4}$. Tính $\frac{MN}{4} = \frac{\sqrt{24^2+(-40)^2+32^2}}{4} = \frac{4\sqrt{6^2+(-10)^2+8^2}}{4} = \sqrt{36+100+64} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$
MN=4*căn(6^2+(-10)^2+8^2)=4*căn(200)=40*căn(2)=56.56
vecto v=(6;-10;8)=>v=căn(6^2+(-10)^2+8^2)=căn(200)
=>MN=4v=4căn(200)=56.56.
Vì không có đáp án đúng nên chọn đáp án gần đúng nhất.

Gọi $x$ là số máy sử dụng.
Thời gian sản xuất là $t = \frac{10000}{80x} = \frac{125}{x}$ giờ.
Chi phí thiết lập là $200x$ (nghìn đồng).
Chi phí giám sát là $30t = 30 \cdot \frac{125}{x} = \frac{3750}{x}$ (nghìn đồng).
Tổng chi phí là $C(x) = 200x + \frac{3750}{x}$.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $C(x)$, ta tìm đạo hàm:
$C'(x) = 200 - \frac{3750}{x^2}$.
Giải $C'(x) = 0$ ta được $200x^2 = 3750 \Leftrightarrow x^2 = \frac{3750}{200} = 18.75 \Leftrightarrow x = \sqrt{18.75} \approx 4.33$.
Vì số máy là số nguyên, ta xét các giá trị nguyên gần $4.33$ là $4$ và $5$.
Nếu $x=4$, $C(4) = 200(4) + \frac{3750}{4} = 800 + 937.5 = 1737.5$.
Nếu $x=5$, $C(5) = 200(5) + \frac{3750}{5} = 1000 + 750 = 1750$.
So sánh $C(4)$ và $C(5)$, ta thấy $C(4)$ nhỏ hơn. Tuy nhiên, vì số máy phải là số nguyên, và $4.33$ gần $4$ hơn $5$, nên ta cần kiểm tra thêm các giá trị lân cận. Vì $x$ là số máy móc, cần một số nguyên dương. Ta sẽ thử 5, 6, 7
Nếu $x=6$, $C(6) = 200(6) + 3750/6 = 1200 + 625 = 1825$. Như vậy, với số lượng máy lớn hơn, chi phí tăng lên. Do đó 5 máy là tối ưu