Câu hỏi:

Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Để xây xong bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Hỏi cần tất cả bao nhiêu viên gạch để xây xong cầu thang đó?

2 130.

2 100.

1 800.

1 956.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Số viên gạch cần cho mỗi bậc thang tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 100$ và công sai $d = -2$.
Số viên gạch cần để xây xong cầu thang là tổng của 30 số hạng đầu của cấp số cộng này.
Ta có công thức tính tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$.
Áp dụng vào bài toán, ta có:
$S_{30} = \frac{30}{2}[2(100) + (30-1)(-2)] = 15[200 - 58] = 15(142) = 2130$.
Vậy cần tất cả 2130 viên gạch để xây xong cầu thang.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Cấp số cộng và cấp số nhân - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 12:

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc tại công ty?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đây là bài toán về lãi kép.
Mức lương năm thứ nhất là $L_1 = 180$ triệu đồng.
Mức lương năm thứ $n$ là $L_n = L_1 * (1 + r)^{n-1}$, với $r$ là tỷ lệ tăng lương hàng năm.
Trong trường hợp này, $L_1 = 180$, $r = 5% = 0.05$, và $n = 6$.
Vậy, mức lương năm thứ sáu là $L_6 = 180 * (1 + 0.05)^{6-1} = 180 * (1.05)^5 = 180 * 1.2762815625 \approx 229.73$ triệu đồng.

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Có 3 số \[4 - 2x;\,\;{x^2};\;4 + 2x\] \[\left( {x > 0} \right)\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

a) \[4 - 2x = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{2}\].

b) Giá trị của \[x\] bằng \[2\].

c) Công sai của cấp số cộng là \[2\].

d) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = 4n - 4\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Sai. Vì $4 - 2x$, $x^2$, $4 + 2x$ là một cấp số cộng nên ta có: $x^2 = \frac{(4-2x) + (4+2x)}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Vậy $x^2 = 4$
Do đó, $4-2x = \frac{x^2 + 4 + 2x}{2}$ là sai.

b) Đúng. Từ $x^2 = 4$ và $x > 0$ suy ra $x = 2$.

c) Đúng. Với $x=2$ thì ba số là $0, 4, 8$. Vậy công sai là $d = 4 - 0 = 8 - 4 = 4$ (khác 2).

d) Sai. Với $u_1 = 0$ và $d = 4$ thì số hạng tổng quát là $u_n = u_1 + (n-1)d = 0 + (n-1)4 = 4n - 4$.

Vậy a) sai, b) đúng, c) sai, d) đúng.

Câu 14:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$ (trong đó ${S_n},{S_{2n}}$ theo thứ tự là tổng của $n$ và $2n$ số hạng đầu của cấp số cộng).

a) Số hạng đầu của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $2$.

b) Công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $3$.

c) Số hạng ${u_{15}} = 58$.

d) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng $350$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $u_5 = u_1 + 4d = 18$ (1)
$4S_n = S_{2n} \Leftrightarrow 4 * \frac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{2n(2u_1 + (2n-1)d)}{2}$ $\Leftrightarrow 4(2u_1 + (n-1)d) = 2(2u_1 + (2n-1)d) $ $\Leftrightarrow 8u_1 + 4nd - 4d = 4u_1 + 4nd - 2d$ $\Leftrightarrow 4u_1 = 2d$ $\Leftrightarrow d=2u_1$ (2)
Thay (2) vào (1): $u_1 + 4(2u_1) = 18 \Leftrightarrow 9u_1 = 18 \Leftrightarrow u_1 = 2$. Suy ra $d = 4$.
Vậy:
* Số hạng đầu $u_1 = 2$ (a - đúng)
* Công sai $d = 4$ (b - sai)
* $u_{15} = u_1 + 14d = 2 + 14*4 = 58$ (c - đúng)
* $S_{15} = \frac{15(2u_1 + 14d)}{2} = \frac{15(2*2 + 14*4)}{2} = \frac{15*60}{2} = 450$ (d - sai)
Vậy đáp án đúng là c. Số hạng $u_{15}=58$

Câu 15:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} = - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right.$.

a) Số hạng ${u_3} = 18$.

b) Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, thì ba số $q\,;\,{u_1}\,;\,7$ tạo thành một cấp số cộng.

c) Số $13\,122$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

d) Biết tổng $S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}}$ bằng $\frac{{a - {3^{50}}}}{2}$. Giá trị $a$ là $59\,049$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} = - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} = - 6}\\{{u_3} = 18}\end{array}} \right.$
Khi đó $q = \frac{u_3}{u_2} = \frac{18}{-6} = -3$ và $u_1 = \frac{u_2}{q} = \frac{-6}{-3} = 2$.

Xét câu a: $u_3 = 18$ (đúng).

Xét câu b: $q, u_1, 7$ là cấp số cộng thì $2u_1 = q + 7 \Leftrightarrow 2*2 = -3 + 7 \Leftrightarrow 4 = 4$ (đúng).

Xét câu c: $u_{11} = u_1 * q^{10} = 2*(-3)^{10} = 2 * 59049 = 118098 \neq 13122$ (sai).

Xét câu d: $S = u_{11} + u_{12} + ... + u_{50} = u_1*q^{10} + u_1*q^{11} + ... + u_1*q^{49} = u_1*q^{10}*(1 + q + ... + q^{39}) = 2*(-3)^{10} * \frac{1 - (-3)^{40}}{1 - (-3)} = 2 * 3^{10} * \frac{1 - 3^{40}}{4} = \frac{3^{10}(1-3^{40})}{2} = \frac{3^{10} - 3^{50}}{2} = \frac{59049 - 3^{50}}{2}$. Vậy $a = 59049$ (đúng).

Câu 16:

Một cấp số nhân có 7 số hạng và có công bội $q$ nguyên. Biết rằng ba số hạng đầu của cấp số nhân lần lượt là $x - 6;\,\,2 - x;\,\,18$ (với $x \in \mathbb{R}$).

a) Ta có $q = \frac{{18}}{{2 - x}}$.

b) ${\left( {2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)$.

c) Có hai cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d) Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng $1\,094$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $x-6, 2-x, 18$ là cấp số nhân nên $\frac{2-x}{x-6} = \frac{18}{2-x}$.
Suy ra $(2-x)^2 = 18(x-6) \Leftrightarrow 4 - 4x + x^2 = 18x - 108 \Leftrightarrow x^2 - 22x + 112 = 0 \Leftrightarrow (x-8)(x-14) = 0$.
Vậy $x=8$ hoặc $x=14$.
Với $x=8$ ta có cấp số nhân $-2, -6, 18,...$ có $q = 3$. Khi đó tổng 7 số hạng là $S_7 = -2\cdot\frac{1-3^7}{1-3} = -2\cdot\frac{-2186}{-2} = -2186$ (loại vì tổng phải dương).
Với $x=14$ ta có cấp số nhân $8, -12, 18,...$ có $q = -\frac{3}{2}$ (loại vì $q$ nguyên).
Tuy nhiên, ta vẫn cần tính tổng của 7 số hạng trong trường hợp đề bài yêu cầu. Với $a_1=8$ và $q=-\frac{3}{2}$, ta có:
$S_7 = 8\cdot\frac{1-(-\frac{3}{2})^7}{1-(-\frac{3}{2})} = 8\cdot\frac{1 + \frac{-2187}{128}}{\frac{5}{2}} = 8\cdot\frac{\frac{-2059}{128}}{\frac{5}{2}} = 8\cdot\frac{-2059}{128}\cdot\frac{2}{5} = \frac{-2059}{40}$ (không phải 1094).

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một công ty muốn thưởng cho nhân viên xuất sắc trong $6$ tháng bằng một khoản tiền thưởng tăng dần theo tháng. Tháng đầu tiên, mỗi nhân viên được thưởng $1$ triệu đồng, mỗi tháng sau đó, số tiền thưởng tăng thêm đều đặn thêm $500$ nghìn đồng so với tháng trước. Tính tổng số tiền thưởng mà mỗi nhân viên nhân được nhận sau $6$ tháng (tính theo đơn vị triệu đồng)?

Lời giải: