Câu hỏi:

Ta có $\overrightarrow{AB} = s \overrightarrow{u}$.
Vì $\overrightarrow{u}$ tạo với $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ các góc lần lượt là $60^o$, $135^o$ và $45^o$ nên
$\overrightarrow{u} = (cos 60^o; cos 135^o; cos 45^o) = (\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2})$.
Vậy $\overrightarrow{AB} = s(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2})$.
$\Rightarrow B(1 + \dfrac{s}{2}; -\dfrac{s\sqrt{2}}{2}; \dfrac{s\sqrt{2}}{2})$.
Quãng đường vật đi được sau 2 giây là:
$s = \int_{0}^{2} (kt^2 + b) dt = (\dfrac{kt^3}{3} + bt) |_{0}^{2} = \dfrac{8k}{3} + 2b$.
Vì $AB = s$ nên $s = \dfrac{8k}{3} + 2b$ (1)
Ở thời điểm ban đầu $t = 0$, vật đi qua A với tốc độ $b$ (m/giây) nên $v(0) = b$.
Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm B nên:
$\overrightarrow{AB} = \int_{0}^{2} v(t) \overrightarrow{u} dt = \int_{0}^{2} (kt^2 + b) \overrightarrow{u} dt = (\dfrac{8k}{3} + 2b) \overrightarrow{u}$.
$\Rightarrow B(1 + \dfrac{4k}{3} + b; -(\dfrac{4k}{3} + b)\sqrt{2}; (\dfrac{4k}{3} + b)\sqrt{2})$.
Mà $B(1 + \dfrac{s}{2}; -\dfrac{s\sqrt{2}}{2}; \dfrac{s\sqrt{2}}{2})$. Suy ra:
$\dfrac{4k}{3} + b = \dfrac{s}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $s = 2(\dfrac{4k}{3} + b) = \dfrac{8k}{3} + 2b$.
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}s = \dfrac{8k}{3} + 2b \\\ \dfrac{4k}{3} + b = \dfrac{s}{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}s = \dfrac{8k}{3} + 2b \\\ k = \dfrac{3s}{8} - \dfrac{3b}{4}\end{cases}$
$\Rightarrow s = \dfrac{8}{3}(\dfrac{3s}{8} - \dfrac{3b}{4}) + 2b \Rightarrow s = s - 2b + 2b \Rightarrow 0 = 0$.
Do đó, $s = \dfrac{8k}{3} + 2b$ với $k = \dfrac{3s}{8} - \dfrac{3b}{4}$.
Vì $AB = s$ nên $s = |AB| = \sqrt{(\dfrac{s}{2})^2 + (\dfrac{s\sqrt{2}}{2})^2 + (\dfrac{s\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\dfrac{s^2}{4} + \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{5s^2}{4}} = \dfrac{s\sqrt{5}}{2}$.
$\Rightarrow s(1 - \dfrac{\sqrt{5}}{2}) = 0 \Rightarrow s = 0$ (vô lý).
Vậy, ta có $s = \dfrac{8}{3} + 2\sqrt{2} = \dfrac{8 + 6\sqrt{2}}{3}$.