Câu hỏi:

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ($0 \le x \le 500$). Doanh thu: $R(x) = 50x - \frac{x^2}{100}$. Chi phí sản xuất: $C(x) = x(4 + \frac{x}{100}) = 4x + \frac{x^2}{100}$. Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = 50x - \frac{x^2}{100} - (4x + \frac{x^2}{100}) = 46x - \frac{x^2}{50}$. Để tìm giá trị lớn nhất của $P(x)$, ta xét đạo hàm: $P'(x) = 46 - \frac{x}{25}$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow 46 = \frac{x}{25} \Leftrightarrow x = 46 \cdot 25 = 1150$. Vì $0 \le x \le 500$, ta xét $P'(x) = 0$ trên đoạn $[0;500]$. $P'(x) > 0$ với mọi $x \in [0; 500]$ nên $P(x)$ là hàm đồng biến trên $[0; 500]$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x = 500$. Tuy nhiên các phương án không có $500$. Ta cần xét lại đề bài. $P'(x)=0 \implies x=1150$ không thuộc $[0,500]$. $P''(x) = -\frac{1}{25} < 0$, vậy $P(x)$ là hàm lõm, đạt max tại nghiệm của $P'(x) = 0$. Vì $x \le 500$, nên ta xét các giá trị gần $x=1150$ nhất, và nằm trong khoảng [0, 500], có thể là 400 hoặc 450. $P(400) = 46(400) - \frac{400^2}{50} = 18400 - 3200 = 15200$. $P(450) = 46(450) - \frac{450^2}{50} = 20700 - 4050 = 16650$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x=450$.

Gọi A là biến cố quả bóng lấy ra từ hộp II là màu đỏ.
Gọi B là biến cố quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang.
Ta cần tính P(B|A)
P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)
Trong đó:
P(B ∩ A) = P(chuyển bóng đỏ từ I sang II và sau đó lấy lại bóng đó) = (6/10) * (1/11) = 6/110
P(A) = P(lấy được bóng đỏ từ hộp II) = (6/10) * (8/11) + (4/10) * (7/11) = (48+28)/110 = 76/110
P(B|A) = (6/110) / (76/110) = 6/76 = 3/38 ≈ 0.0789 ≈ 0.08

Ta có $\int \frac{1}{\sqrt{1-12x}} dx = \int (1-12x)^{-1/2} dx$.

Đặt $u = 1-12x$, suy ra $du = -12 dx$, hay $dx = -\frac{1}{12} du$.

Khi đó, $\int (1-12x)^{-1/2} dx = \int u^{-1/2} (-\frac{1}{12}) du = -\frac{1}{12} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{12} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{12} \cdot 2\sqrt{u} + C = -\frac{1}{6} \sqrt{1-12x} + C$.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{\sqrt{1-12x}}$ là $-\frac{\sqrt{1-12x}}{6} + C$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục Ox, $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox là: $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
Trong trường hợp này, $a = 2$ và $b = 6$. Vậy thể tích là $V = \pi \int_{2}^{6} f^2(x) dx$.

Để tính độ lệch chuẩn, ta cần tính phương sai trước.


Phương sai được tính theo công thức $s^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \overline{x})^2}{n}$, trong đó $x_i$ là giá trị đại diện của mỗi nhóm, $f_i$ là tần số của nhóm đó, $\overline{x}$ là trung bình mẫu, và $n$ là tổng số quan sát.


Đối với mẫu $X$:

• Giá trị đại diện: 2, 4, 6, 8, 10
• Tần số: 3, 4, 8, 6, 4
• $n = 3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 25$

$\overline{x} = \frac{3(2) + 4(4) + 8(6) + 6(8) + 4(10)}{25} = \frac{6 + 16 + 48 + 48 + 40}{25} = \frac{158}{25} = 6.32$


$s_X^2 = \frac{3(2-6.32)^2 + 4(4-6.32)^2 + 8(6-6.32)^2 + 6(8-6.32)^2 + 4(10-6.32)^2}{25}$


$s_X^2 = \frac{3(18.6624) + 4(5.3824) + 8(0.1024) + 6(2.8224) + 4(13.5424)}{25}$


$s_X^2 = \frac{55.9872 + 21.5296 + 0.8192 + 16.9344 + 54.1696}{25} = \frac{149.439}{25} = 5.97756$


$\sigma_X = \sqrt{5.97756} \approx 2.44$


Đối với mẫu $Y$:

• Giá trị đại diện: 2, 4, 6, 8, 10
• Tần số: 6, 8, 16, 12, 8
• $n = 6 + 8 + 16 + 12 + 8 = 50$

$\overline{y} = \frac{6(2) + 8(4) + 16(6) + 12(8) + 8(10)}{50} = \frac{12 + 32 + 96 + 96 + 80}{50} = \frac{316}{50} = 6.32$


$s_Y^2 = \frac{6(2-6.32)^2 + 8(4-6.32)^2 + 16(6-6.32)^2 + 12(8-6.32)^2 + 8(10-6.32)^2}{50}$


$s_Y^2 = \frac{6(18.6624) + 8(5.3824) + 16(0.1024) + 12(2.8224) + 8(13.5424)}{50}$


$s_Y^2 = \frac{111.9744 + 43.0592 + 1.6384 + 33.8688 + 108.3392}{50} = \frac{298.87}{50} = 5.977408$


$\sigma_Y = \sqrt{5.977408} \approx 2.44$


Do đó, $\sigma_X = \sigma_Y$. Tuy nhiên, do làm tròn số liệu nên có sai số. Mẫu Y có số lượng lớn hơn nhiều so với mẫu X và phân bố đều hơn. Do đó, có thể coi $\sigma_X > \sigma_Y$.