Câu hỏi:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^2$ là

\Big( \sin \dfrac{x}{2} \Big)^2+C

x+\sin x+C

\dfrac13\Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^3+C

\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\sin x+C

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: $f(x) = \Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^2 = \dfrac{1 + \cos x}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x$.
Vậy, nguyên hàm của $f(x)$ là:
$\int f(x) dx = \int \Big( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x \Big) dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos x dx = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\sin x + C$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 3: Nguyên hàm của hàm số mũ; hàm số lượng giác

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x.\cos x$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có thể giải bài này bằng hai cách:

Cách 1: Sử dụng công thức lượng giác: $\sin x . \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. Khi đó, $\int \frac{1}{2} \sin 2x dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + C$.
Cách 2: Đặt $u = \sin x$ hoặc $u = \cos x$. Ví dụ, nếu $u = \sin x$ thì $du = \cos x dx$. Khi đó, $\int \sin x \cos x dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C$. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Ta biến đổi $\frac{\sin^2 x}{2} + C = \frac{1 - \cos 2x}{4} + C = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{4} + C = -\frac{\cos 2x}{4} + C'$ (với $C' = \frac{1}{4} + C$).

Vậy đáp án đúng là $\int f(x)\mathrm{d}x=-\dfrac{\cos 2x}{4}+C$.

Câu 1:

Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn $\displaystyle \displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x=\mathrm{e}^{2x}+C$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\displaystyle \int f(x) dx = e^{2x} + C$.
Lấy đạo hàm hai vế theo $x$, ta được:
$\dfrac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = \dfrac{d}{dx} (e^{2x} + C)$
$f(x) = 2e^{2x}$

Câu 2:

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có họ tất cả các nguyên hàm là $F(x)=\dfrac{a^x}{\ln a}+C,$ ( $a>0, \, a\ne 1, \, C$ là hằng số)?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = a^x$.

Câu 3:

Hàm số $F(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $F(x) = e^{x^2}$.

Khi đó, $F'(x) = (e^{x^2})' = e^{x^2} * (x^2)' = e^{x^2} * 2x = 2xe^{x^2}$.

Vậy, $f(x) = 2xe^{x^2}$.

Câu 4:

Hàm số $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+\mathrm{e}^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$.
Tính đạo hàm của $F(x)$:
$F'(x) = \left( \dfrac{x^3}{3}+\mathrm{e}^{x} \right)' = \dfrac{3x^2}{3} + \mathrm{e}^{x} = x^2 + \mathrm{e}^{x}$.
Vậy, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = x^2 + \mathrm{e}^{x}$.

Câu 5:

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{3x+1}-2x^2$ là

Lời giải: