Câu hỏi:

Diện tích hình chữ nhật là $60 imes 80 = 4800 m^2$. Mỗi phần trồng hoa có diện tích bằng $\frac{2}{3}$ diện tích hình chữ nhật nhỏ có kích thước $60$ m x $40$ m. Vậy diện tích mỗi phần trồng hoa là $\frac{2}{3} imes 60 imes 40 = 1600 m^2$. Có hai phần trồng hoa, vậy tổng diện tích trồng hoa là $2 imes 1600 = 3200 m^2$. Diện tích sân chơi là $4800 - 3200 = 1600 m^2$.

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ($0 \le x \le 500$). Doanh thu: $R(x) = 50x - \frac{x^2}{100}$. Chi phí sản xuất: $C(x) = x(4 + \frac{x}{100}) = 4x + \frac{x^2}{100}$. Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = 50x - \frac{x^2}{100} - (4x + \frac{x^2}{100}) = 46x - \frac{x^2}{50}$. Để tìm giá trị lớn nhất của $P(x)$, ta xét đạo hàm: $P'(x) = 46 - \frac{x}{25}$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow 46 = \frac{x}{25} \Leftrightarrow x = 46 \cdot 25 = 1150$. Vì $0 \le x \le 500$, ta xét $P'(x) = 0$ trên đoạn $[0;500]$. $P'(x) > 0$ với mọi $x \in [0; 500]$ nên $P(x)$ là hàm đồng biến trên $[0; 500]$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x = 500$. Tuy nhiên các phương án không có $500$. Ta cần xét lại đề bài. $P'(x)=0 \implies x=1150$ không thuộc $[0,500]$. $P''(x) = -\frac{1}{25} < 0$, vậy $P(x)$ là hàm lõm, đạt max tại nghiệm của $P'(x) = 0$. Vì $x \le 500$, nên ta xét các giá trị gần $x=1150$ nhất, và nằm trong khoảng [0, 500], có thể là 400 hoặc 450. $P(400) = 46(400) - \frac{400^2}{50} = 18400 - 3200 = 15200$. $P(450) = 46(450) - \frac{450^2}{50} = 20700 - 4050 = 16650$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x=450$.

Gọi A là biến cố quả bóng lấy ra từ hộp II là màu đỏ.
Gọi B là biến cố quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang.
Ta cần tính P(B|A)
P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)
Trong đó:
P(B ∩ A) = P(chuyển bóng đỏ từ I sang II và sau đó lấy lại bóng đó) = (6/10) * (1/11) = 6/110
P(A) = P(lấy được bóng đỏ từ hộp II) = (6/10) * (8/11) + (4/10) * (7/11) = (48+28)/110 = 76/110
P(B|A) = (6/110) / (76/110) = 6/76 = 3/38 ≈ 0.0789 ≈ 0.08

Ta có $\int \frac{1}{\sqrt{1-12x}} dx = \int (1-12x)^{-1/2} dx$.

Đặt $u = 1-12x$, suy ra $du = -12 dx$, hay $dx = -\frac{1}{12} du$.

Khi đó, $\int (1-12x)^{-1/2} dx = \int u^{-1/2} (-\frac{1}{12}) du = -\frac{1}{12} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{12} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{12} \cdot 2\sqrt{u} + C = -\frac{1}{6} \sqrt{1-12x} + C$.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{\sqrt{1-12x}}$ là $-\frac{\sqrt{1-12x}}{6} + C$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục Ox, $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox là: $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
Trong trường hợp này, $a = 2$ và $b = 6$. Vậy thể tích là $V = \pi \int_{2}^{6} f^2(x) dx$.