Câu hỏi:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x+2}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ bằng

\dfrac{4}{5}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{6}{7}

\dfrac{2}{3}

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có $y = f(x) = \dfrac{x+1}{x+2} = \dfrac{x+2-1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2}$.
Vì $x \in [1;3]$ nên $3 \le x+2 \le 5$, suy ra $\dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x+2} \le \dfrac{1}{3}$, do đó $-\dfrac{1}{3} \le -\dfrac{1}{x+2} \le -\dfrac{1}{5}$.
Vậy $1-\dfrac{1}{3} \le 1 - \dfrac{1}{x+2} \le 1 - \dfrac{1}{5}$, tức là $\dfrac{2}{3} \le f(x) \le \dfrac{4}{5}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\dfrac{4}{5}$ khi $x=1$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên miền xác định

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$ trên đoạn $[-2;2]$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3x^2 - 6x - 9$
2. Giải phương trình $y'=0$: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) = 0$. Vậy $x = 3$ hoặc $x = -1$.
3. So sánh các giá trị $x$ tìm được với đoạn đang xét $[-2;2]$. Ta thấy $x=3$ không thuộc đoạn $[-2;2]$, còn $x=-1$ thuộc đoạn này.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-2, x=-1, x=2$:
- $y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$
- $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
- $y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 5 = 8 - 12 - 18 + 5 = -17$
5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là $-17$.

Câu 10:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+5$ trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+5$ trên đoạn $[2;4]$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3x^2 - 3$
2. Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 3 = 0 => x^2 = 1 => x = \pm 1$
3. Kiểm tra xem các nghiệm có thuộc đoạn $[2;4]$ không. Trong trường hợp này, không có nghiệm nào thuộc đoạn.
4. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:
* $y(2) = 2^3 - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$
* $y(4) = 4^3 - 3(4) + 5 = 64 - 12 + 5 = 57$
5. So sánh các giá trị và chọn giá trị nhỏ nhất. Trong trường hợp này, giá trị nhỏ nhất là 7.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ là 7.

Câu 11:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-\dfrac32x^2+1$ trên khoảng $\Big( -25;\dfrac{11}{10} \Big)$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 1$ trên khoảng $(-25; \dfrac{11}{10})$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3x^2 - 3x$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$

Kiểm tra xem các nghiệm có thuộc khoảng $(-25; \dfrac{11}{10})$ không. Cả $x=0$ và $x=1$ đều thuộc khoảng này.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút của khoảng (nếu có thể):

$y(0) = 0^3 - \dfrac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1$

$y(1) = 1^3 - \dfrac{3}{2}(1)^2 + 1 = 1 - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{2 - 3 + 2}{2} = \dfrac{1}{2}$

Vì khoảng là khoảng mở nên ta xét giới hạn khi $x$ tiến đến hai đầu mút:

Khi $x \to -25$, $y \to (-25)^3 - \dfrac{3}{2}(-25)^2 + 1 = -15625 - \dfrac{3}{2}(625) + 1 = -15625 - 937.5 + 1 = -16561.5$

Khi $x \to \dfrac{11}{10}$, $y \to (\dfrac{11}{10})^3 - \dfrac{3}{2}(\dfrac{11}{10})^2 + 1 = \dfrac{1331}{1000} - \dfrac{3}{2}(\dfrac{121}{100}) + 1 = \dfrac{1331}{1000} - \dfrac{363}{200} + 1 = \dfrac{1331 - 1815 + 1000}{1000} = \dfrac{516}{1000} = \dfrac{129}{250} = 0.516$

So sánh các giá trị: $y(0) = 1$, $y(1) = \dfrac{1}{2} = 0.5$. Giới hạn tại $x=-25$ là một số âm rất lớn, và giới hạn tại $x=\dfrac{11}{10}$ là $\dfrac{129}{250}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho là $1$.

Câu 12:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{2x+1}{1-x}$ trên đoạn $\left[ 2;3 \right]$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $y = \dfrac{2x+1}{1-x}$. Đạo hàm của hàm số là:
$y' = \dfrac{2(1-x) - (-1)(2x+1)}{(1-x)^2} = \dfrac{2-2x+2x+1}{(1-x)^2} = \dfrac{3}{(1-x)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$.
Vì $y' > 0$ trên $[2;3]$, hàm số $y$ đồng biến trên $[2;3]$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2;3]$ là $y(2) = \dfrac{2(2)+1}{1-2} = \dfrac{5}{-1} = -5$.

Câu 13:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^3 + 3x$ trên đoạn $[0; 2]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = -3x^2 + 3$

Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:
$-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
Chỉ có $x = 1$ thuộc đoạn $[0; 2]$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn:
- $y(0) = -0^3 + 3(0) = 0$
- $y(1) = -1^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$
- $y(2) = -2^3 + 3(2) = -8 + 6 = -2$

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất là 2.

Câu 14:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ bằng

Lời giải: