Câu hỏi:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) và điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \[\cos \left( {AB,\,DM} \right)\].
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$.
Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM}$.
Ta có $|\overrightarrow{AB}| = a$.
$|\overrightarrow{DM}|^2 = DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$.
Suy ra $|\overrightarrow{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos(AB, DM) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM}$.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) = a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - 60^\circ) = a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CM}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM}) = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM})$.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $CM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$
Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.
Ta có $|\overrightarrow{AB}| = a$.
$|\overrightarrow{DM}|^2 = DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$.
Suy ra $|\overrightarrow{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos(AB, DM) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
