Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,\,AB = a$ và $A'B = a\sqrt 3 $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là

$\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.

B. $\frac{{{a^3}}}{6}$.

C. $\frac{{{a^3}}}{2}$.

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, có $AB=a$ nên $BC=a$. Diện tích đáy $S = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a^2$.
Vì lăng trụ đứng nên $A'B$ là cạnh huyền của tam giác vuông $AA'B$.
$AA' = \sqrt{A'B^2 - AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - a^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Thể tích lăng trụ là $V = S.AA' = \frac{1}{2}a^2.a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy đáp án là D.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề ôn luyện Chủ đề Hình học không gian - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có thể tích là V và độ dài cạnh bên \[AA' = 6\]. Trên các cạnh \[A'A,B'B,C'C\] lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \[AM = 2,BN = x,CP = y\] với x, y là các số dương thỏa mãn \[xy = 12\]. Biết rằng thể tích khối đa diện \[ABC.MNP\] bằng \[\frac{1}{2}V\]. Giá trị của \[{x^2} + {y^2}\] bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi $S$ là diện tích đáy $ABC$ của lăng trụ.
Thể tích lăng trụ là $V = S.AA' = 6S$.
Thể tích khối $ABC.MNP$ là $\frac{1}{2}V = 3S$.
Ta có:
$\frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{1}{3}h.S}}{{\frac{1}{3}H.S}} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{{AM + BN + CP}}{{AA' + BB' + CC'}} = \frac{{2 + x + y}}{{6 + 6 + 6}} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2 + x + y = 9 \Rightarrow x + y = 7$.
Mà $xy = 12$, suy ra $x = 3, y = 4$ hoặc $x = 4, y = 3$.
Do đó, ${x^2} + {y^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25$ hoặc ${x^2} + {y^2} = {4^2} + {3^2} = 16 + 9 = 25$.
Vậy ${x^2} + {y^2} = 25$.

Câu 12:

Cho hình chóp $S.ABC$, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \[AM = 2MB,BN = 4NC,SP = PC\]. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.BMN và A.CPN là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
$\frac{V_{S.BMN}}{V_{S.ABC}} = \frac{SB}{SA} \cdot \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{15}$
$\Rightarrow V_{S.BMN} = \frac{2}{15} V_{S.ABC}$
$\frac{V_{A.CPN}}{V_{A.SBC}} = \frac{AC}{AC} \cdot \frac{AP}{AS} \cdot \frac{AN}{AB} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow V_{A.CPN} = \frac{4}{5} V_{A.SBC}$
Mà $V_{A.SBC} = V_{S.ABC}$ nên $V_{A.CPN} = \frac{4}{5} V_{S.ABC}$
Do đó: $\frac{V_{S.BMN}}{V_{A.CPN}} = \frac{\frac{2}{15} V_{S.ABC}}{\frac{4}{5} V_{S.ABC}} = \frac{2}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{6}$
Vậy, tỉ số cần tìm là $\frac{5}{6}$.

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh có độ dài bằng $a$; gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$, $BB'$

a) Góc giữa hai đường thẳng $AM$và \[BC'\] bằng góc giữa hai đường thẳng $AM$ và \[MN\]

b) Đoạn thẳng $A'M$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

c) Đoạn thẳng $MN$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

d) Góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $BC'$ bằng $60^\circ $

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để trả lời câu hỏi này, ta cần phân tích từng mệnh đề:

a) $AM$ và $BC'$ không song song, cũng không vuông góc với $AM$ và $MN$. Vậy góc giữa chúng không bằng nhau. Do đó, mệnh đề này sai.

b) Tính độ dài $A'M$: Vì $M$ là trung điểm $B'C'$, ta có $A'B' = a$ và $B'M = \frac{a}{2}$. Tam giác $A'B'M$ vuông tại $B'$. $A'M = \sqrt{A'B'^2 + B'M^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \neq \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy, mệnh đề này sai.

c) Tính độ dài $MN$: Vì $N$ là trung điểm $BB'$, ta có $BN = \frac{a}{2}$. Gọi $P$ là trung điểm $BC$, ta có $B'M = \frac{a}{2}$ và $B'M || PC$, $BN = \frac{a}{2}$ và $BN || C'M$, $MNC'B$ là hình bình hành. Gọi $Q$ là hình chiếu của $M$ trên $BB'$, ta có $MQ = B'B = a$ và $NQ = BB' - B'N = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$. $MN = \sqrt{MQ^2 + NQ^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \neq \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy, mệnh đề này sai.

d) Tính góc giữa $AM$ và $BC'$: Vì câu a sai, nên câu d sai. Góc này không phải là $60^\circ $.

Câu 14:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ Gọi $M$ là trung điểm của $SD$

a) $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

b) Gọi $H$là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ thì $MH = \frac{1}{3}SO$

c) Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SAO}$

d) Tan của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{1}{3}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

Hình chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot (ABCD)$ (a đúng)
$O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ nên $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABCD)$ nên $MH \parallel SO$.
Vì $M$ là trung điểm của $SD$ nên $MH = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4} \neq \frac{1}{3}SO$. (b sai)
Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SAO}$ (c đúng)
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$, $E$ là hình chiếu của $M$ trên $OK$, $I$ là hình chiếu của $M$ trên $BC$.
Suy ra: $MH = EI = \frac{1}{2}OK = \frac{1}{2}.\frac{a}{2} = \frac{a}{4}$.
Ta có: $BI = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
$tan\widehat{(BM,(ABCD))} = tan\widehat{MBH} = \frac{MH}{BH} = \frac{a/4}{\sqrt{BI^2 + IH^2}} = \frac{a/4}{\sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2}} = \frac{a/4}{a/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{1}{3}$. (d sai)

Câu 15:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $AC = a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $H$ của $BC$. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ tạo với $\left( {ABC} \right)$ một góc $60^\circ $

a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Khi đó, $MH \bot AB.$

b) Số đo \[\widehat {SMH}\] bằng $60^\circ $

c) Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$. Khi đó, $HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

d) Gọi $I$ là trung điểm $SC$ Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$H$ là trung điểm $BC$ nên $AH$ không vuông góc với $AB$. Do đó, $MH$ không vuông góc với $AB$. Vậy a) sai.
Góc giữa $(SAB)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SMH}$. Theo đề bài, góc này bằng $60^\circ$. Vậy b) đúng.
Để tính $HK$, ta cần biết $SH$ và $HM$. Ta chưa có đủ dữ kiện để tính trực tiếp $HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Để tính khoảng cách từ $I$ đến $(SAB)$, ta cần biết vị trí tương đối của $I$ và $(SAB)$, cũng như khoảng cách từ một điểm khác đến $(SAB)$ mà ta có thể tính được.

Vậy câu b) là câu chắc chắn đúng.

Câu 16:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$,$AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ $, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ $. Gọi $J,\,I$ lần lượt là trung điểm cạnh $CD,\,DJ$

a) Diện tích của hình thoi $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

b) Góc giữa mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và mặt đáy là $\widehat {SJO}$

c) Chiều cao của khối chóp là $\frac{{3a}}{4}$

d) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ được viết dưới dạng $\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}$, với $m$ là số nguyên tố. Khi đó, $2024m - n = 6065$

Lời giải: