Câu hỏi:

Gọi $x = \frac{SM}{SA}, y = \frac{SN}{SC}, z = \frac{SP}{SD}$. Vì $B, I, M, N, P$ đồng phẳng nên ta có:
$\frac{SM}{SA} + \frac{SN}{SC} + \frac{SB}{SB} + \frac{SI}{SO} = 2 \Rightarrow x + y + z + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow x + y + z = \frac{5}{3}$.
Ta có $V_{S.ABCD} = \frac{1}{6}SA.SB.SC.sin^2(α).sin(β)$
$V_{S.BMPN} = \frac{1}{6}SB.SM.SP.SN.sin^2(\alpha).sin(\beta)$
$\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SP}{SD} = x.y.z$
Ta có $y = \frac{5}{3} - x - z$. Để $V_{S.BMPN}$ đạt max, min thì:
$P = x.z.(\frac{5}{3} - x - z)$ phải đạt max, min.
Xét hàm số $f(x, z) = xz(\frac{5}{3} - x - z)$
Ta có $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = z(\frac{5}{3} - 2x - z) = 0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = x(\frac{5}{3} - x - 2z) = 0$
Suy ra $x = z = \frac{5}{9}$
Khi đó $P = x.y.z = \frac{125}{729}$ (Đây là giá trị lớn nhất)
Nếu $M \equiv A$ thì $x = 1 \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{2}{3} - z \Rightarrow P = y.z = (\frac{2}{3} - z).z = \frac{2}{3}z - z^2$
$\Rightarrow P' = \frac{2}{3} - 2z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Khi đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{9}.V_{S.ABCD}$ (Đây là giá trị bé nhất)
Vậy $m = \frac{125}{729}$ và $n = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow 25m + 15n = \frac{3125}{729} + \frac{15}{9} = \frac{3125}{729} + \frac{1215}{729} = \frac{4340}{729} \approx 5.95$ (không có đáp án)

Lập luận khác:
Ta có $m = max \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$ và $n = min \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow 25m + 15n = ?$ (Cần tìm)
Ta có $x + y + z = \frac{5}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le (\frac{x + y + z}{3})^3$
$\Rightarrow xyz \le (\frac{5}{9})^3 = \frac{125}{729}$
Vậy $m = \frac{125}{729}$.
Xét $V_{S.BMPN} = V_{S.BMI} + V_{S.PNI}$
Để $V_{S.BMPN}$ min thì $M, N, P$ phải gần các điểm $A, C, D$ nhất
Do đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $n = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow 25m + 15n = 25.\frac{125}{729} + 15.\frac{1}{8} = \frac{3125}{729} + \frac{15}{8} = \frac{25000 + 10935}{5832} = \frac{35935}{5832} \approx 6.16$ (không có đáp án)

Hướng giải khác:
Do $I$ thuộc $SO$ và $SI = \frac{1}{3}SO \Rightarrow $ $I$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Gọi $E = BI \cap CD; F = BI \cap AD; G = BI \cap AC$
Khi đó $M, N, P$ lần lượt trùng với $E, F, G$.
Ta có $V_{S.ABCD} = V_{S.ABC} + V_{S.ACD} = 2V_{S.ACD}$
$V_{S.BME} = V_{S.ABCD} - V_{S.BCM} - V_{S.CDN} - V_{S.ABN}$

Giải theo cách loại trừ:
Giả sử $M$ trùng với $A$ thì $SA = SM$.
Khi đó $x + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow 1 + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
Suy ra $N, P$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$.
Khi đó $V_{S.MNP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.V_{S.ACD} = \frac{1}{4}V_{S.ACD}$
Mà $V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} \Rightarrow V_{S.MNP} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $m = \frac{1}{8}$
Nếu $N$ trùng với $C$ thì $SC = SN$ nên $V_{S.ABCD} = V_{S.BMPN} + V_{BMPC}$

Xét đáp án B: $\frac{7}{8}$
Nếu $25m + 15n = \frac{7}{8}$ thì $m = \frac{7}{200} - \frac{3}{5}n$