Câu hỏi:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $d(BD, SA) = d(BD, (SAC))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng $OH \perp AC$ tại $H$. Khi đó $OH \perp (SAC)$ và $d(O, (SAC)) = OH$.
Ta có $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OC^2}$.
Vì $SG \perp (ABCD)$ nên $SG \perp BD$. Do đó $BD \perp (SGC)$ suy ra $(SGC) \perp (ABCD)$.
$d(BD, SA) = d(O, (SAC)) = OH$.
Ta có $SC = \sqrt{SG^2 + GC^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + (\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{27a^2 + 4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{31a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{31}}{6}$.
$SA = \sqrt{SG^2 + GA^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + (\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{27a^2 + 4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{31a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{31}}{6}$.
$\frac{1}{d^2(O,(SAC))} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OC^2}$.
$\frac{1}{SO^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{SG^2}$
$\frac{1}{d^2(BD, SA)} = \frac{1}{SG^2} + \frac{1}{OG^2}$
Ta có $OG = \frac{1}{3}AO = \frac{a}{6}$.
$\frac{1}{d^2(BD, SA)} = \frac{4}{3a^2} + \frac{36}{a^2} = \frac{4 + 108}{3a^2} = \frac{112}{3a^2}$.
$d^2(BD, SA) = \frac{3a^2}{112} = \frac{3a^2}{16 \cdot 7} = \frac{3a^2}{112}$.
$d(BD, SA) = \sqrt{\frac{3}{112}}a = \sqrt{\frac{3}{16 \cdot 7}}a = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}a = \frac{\sqrt{21}}{28}a \approx 0.16a$.
$SG = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AG = \frac{a}{3}$.
$d(SA, BD) = \frac{a\sqrt{13}}{13} \approx 0.28a$