Câu hỏi:

a) Đúng.

b) Đúng vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( x \right)=0\).

c) Đúng.

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

\({f}'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-8}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}};{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-1\Rightarrow y=-1  \\    x=4\Rightarrow y=\frac{1}{4}  \\ \end{array}. \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=4\) là điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\).

d) Sai.

Từ kết quả câu b) và c) ta suy ra tập giá trị của hàm số là:

\(\left[ -1;\frac{1}{4} \right]\Rightarrow 3a+4b=-3+1=-2\).

a) Đúng

Ta có \({{v}_{B}}\left( t \right)=\int a.\text{dt}=at+C,{{v}_{B}}\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow {{v}_{B}}\left( t \right)=at\).

Vậy a) đúng.

b) Đúng

Quãng đường chất điểm \(A\) đi được trong 25 giây là:

\({{S}_{A}}=\mathop{\int }_{0}^{25}\left( \frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t \right)\text{dt}=\left. \left( \frac{1}{300}{{t}^{3}}+\frac{13}{60}{{t}^{2}} \right) \right|_{0}^{25}=\frac{375}{2}.\)

Vậy b) đúng.

c) \(\mathbf{Sai}\)

Quãng đường chất điểm \(B\) đi được trong 15 giây là:

\({{S}_{B}}=\mathop{\int }_{0}^{15}at.\text{dt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{15}=\frac{225a}{2}\).

Vậy c) sai.

d) Đúng

Ta có \(\frac{375}{2}=\frac{225a}{2}\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}\).

Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là:

\({{v}_{B}}\left( 15 \right)=\frac{5}{3}\cdot 15=25\left( \text{m}/\text{s} \right)\).

Vậy d) đúng.

a) Sai. (S): \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\) có \(a=3;b=-2;c=1\) 

Nên có tâm \(I\left( 3;-2;1 \right)\) và bán kính 

\(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}-5}=3\).

b) Sai. Vì \(OI=\sqrt{{{(3-0)}^{2}}+{{(-2-0)}^{2}}+{{(1-0)}^{2}}}=\sqrt{14}>3\) nên \(O\left( 0;0;0 \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Sai. \(\left( Q \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 nên \(r=2\).

Ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\Rightarrow d=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{5}\).

Vậy khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\sqrt{5}\).

d) Đúng. Gọi \(\vec{n}=\left( a;b;c \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \vec{n}\ne \vec{0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Vì phẳng \(\left( Q \right)\) chứa trục \(Ox\) nên \(\left( Q \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{i}=\left( 1;0;0 \right)\).

Ta có \(\vec{n}\bot \vec{i}\Leftrightarrow a.1+b.0+c.0=0\Leftrightarrow a=0\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(O\) và nhận vectơ \(\vec{n}=\left( 0;b;c \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(by+cz=0\)

Vì

\(\begin{array}{*{35}{l}}   d\left( I,\left( Q \right) \right)=\sqrt{5} & \Leftrightarrow \frac{\left| b.\left( -2 \right)+c.1 \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}} & =\sqrt{5}  \\    {} & \Leftrightarrow \left| -2b+c \right| & =\sqrt{5}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}  \\    {} & \Leftrightarrow 4{{b}^{2}}-4bc+{{c}^{2}} & =5\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)  \\    {} & \Leftrightarrow {{(b+2c)}^{2}} & =0  \\    {} & \Leftrightarrow b+2c & =0.  \\ \end{array}\)

Chọn \(c=-1\Rightarrow b=2\).

Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là: \(2y-z=0\).

Gọi biến cố \(A\) là: "Có mưa vào thứ hai".

\(B\) là: "Có mưa vào thứ ba".

Từ giả thiết có \(P\left( A \right)={{x}^{2}}\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-{{x}^{2}}\).

\(P\left( B\mid A \right)=\frac{1}{4}x\) và \(P\left( B\mid \overline{A} \right)=x\).

a) Xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là:

\(P\left( A \right)\cdot P\left( B\mid A \right)={{x}^{2}}\cdot \frac{1}{4}x=\frac{{{x}^{3}}}{4}\).

Suy ra mệnh đề sai.

b) Để khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là \(25\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) thì

\(\frac{{{x}^{3}}}{4}=25\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\Leftrightarrow x=1\).

Suy ra mệnh đề sai.

c) Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P(B) & =P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})  \\    {} & ={{x}^{2}}\cdot \frac{1}{4}x+\left( 1-{{x}^{2}} \right)x  \\    {} & =x-\frac{3{{x}^{3}}}{4}  \\ \end{array}\)

Suy ra mệnh đề sai. 

d) Điều kiện của biến \(0\le x\le 1\)

Xét hàm số \(y=x-\frac{3}{4}{{x}^{3}}\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\).

Ta có \({y}'=1-\frac{9}{4}{{x}^{2}};{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=\frac{2}{3}  \\    x=-\frac{2}{3}\left( l \right)  \\ \end{array} \right.\)

\(y\left( 0 \right)=0;y\left( \frac{2}{3} \right)=\frac{4}{9};y\left( 1 \right)=\frac{1}{4}\).

Suy ra \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,y=y\left( \frac{2}{3} \right)\).

Như vậy, khi \(x=\frac{2}{3}\) thì xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba là lớn nhất.

Theo công thức Bayes, xác suất để có mưa vào thứ hai là:

\(P\left( A\mid B \right)=\frac{P\left( A \right)\cdot P\left( B\mid A \right)}{P\left( B \right)}=\frac{{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{4}x}{x-\frac{3}{4}{{x}^{3}}}=\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\cdot {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}}=\frac{1}{6}\).

Suy ra mệnh đề đúng.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), dễ thấy \(CN\bot \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}BA \right)\Rightarrow CN\bot MN\).

Ta có \(MN\parallel {{A}_{1}}B\Rightarrow \left( CM,{{A}_{1}}B \right)=\left( CM,MN \right)=NMC={{45}^{\circ }}\).

Dẫn đến \(CN=MN=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3};CM=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{6}\).

\(\Rightarrow AM=\sqrt{C{{M}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{9.6-{{6}^{2}}}=3\sqrt{2}\).

Do đó:

\(d\left( CM,{{A}_{1}}B \right)=d\left( \left( CMN \right),{{A}_{1}}B \right)=d\left( B,\left( CMN \right) \right)=d\left( A,\left( CMN \right) \right)\).

Từ \(A\) kẻ \(AH\bot MN\) mà ta có \(AH\bot CN\) nên \(AH\bot \left( CMN \right)\).

Suy ra \(d\left( A,\left( CMN \right) \right)=AH\).