Câu hỏi:

Cho bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$, với $m$ là tham số.

a) Với $m = 2$, điều kiện xác định của bất phương trình là $1 \le x \le 4$.

b) Với $m = 2$ thì $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình trên.

c) Với $m = 5$, tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {3\,;\,4} \right)$.

d) Có $8$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình trên có nghiệm.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta xét câu c) với $m=5$: Bất phương trình trở thành: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$
$\Leftrightarrow -{\log _2}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$
$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - 5} \right)$
$\Leftrightarrow 4 - x \le 2x - 5$ (vì cơ số 2 > 1)
$\Leftrightarrow 3x \ge 9$
$\Leftrightarrow x \ge 3$
Điều kiện xác định: $2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$ và $4 - x > 0 \Leftrightarrow x < 4$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[3; 4)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left( {{\rm{cos}}\,x} \right) = 0$ trên đoạn $\left[ {1\,;\,2021} \right]$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\sin(\cos x) = 0$ khi và chỉ khi $\cos x = k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $-1 \le k\pi \le 1$, suy ra $-\frac{1}{\pi} \le k \le \frac{1}{\pi}$. Do đó, $k = 0$.

Vậy, ta cần giải phương trình $\cos x = 0$ trên đoạn $[1, 2021]$.

Phương trình $\cos x = 0$ có nghiệm $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ta cần tìm số giá trị nguyên $n$ sao cho $1 \le \frac{\pi}{2} + n\pi \le 2021$.

$\Leftrightarrow 1 \le \pi(\frac{1}{2} + n) \le 2021$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\pi} \le \frac{1}{2} + n \le \frac{2021}{\pi}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\pi} - \frac{1}{2} \le n \le \frac{2021}{\pi} - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - \frac{\pi}{2}}{\pi} \le n \le \frac{2021}{\pi} - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 1.57}{\pi} \le n \le \frac{2021}{3.14} - 0.5$

$\Leftrightarrow \frac{-0.57}{3.14} \le n \le 643.6 - 0.5$

$\Leftrightarrow -0.18 \le n \le 643.1$

Vì $n \in \mathbb{Z}$, nên $0 \le n \le 643$.

Vậy có $643 - 0 + 1 = 644$ nghiệm.

Câu 18:

Biết rằng phương trình \[\tan x + \sqrt 3 = 0\] có nghiệm $x = - \frac{{a\pi }}{b} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2a + 3b$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\tan x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan x = -\sqrt{3}$.

Nghiệm của phương trình là $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra $a = 1$ và $b = 3$. Vậy $2a + 3b = 2(1) + 3(3) = 2 + 9 = 11$.

Câu 19:

Tổng các nghiệm của phương trình ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,100\pi } \right]$ là $a\pi .\,$Tính $a + 2025.$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có phương trình ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} = {5^{ - 2}}$

$\Leftrightarrow 2\sin x = - 2$

$\Leftrightarrow \sin x = - 1$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$

Xét $x \in \left[ {0;100\pi } \right]$, ta có:

$0 \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 100\pi $

$\Leftrightarrow 0 \le - \frac{1}{2} + 2k \le 100$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{201}}{4}$

$\Leftrightarrow 0,25 \le k \le 50,25$

$\Rightarrow k \in \left\{ {1,2,...,50} \right\}$

Khi đó tổng các nghiệm là:

$S = \sum\limits_{k = 1}^{50} {\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)} = - 50\frac{\pi }{2} + 2\pi \sum\limits_{k = 1}^{50} k $

$= - 25\pi + 2\pi \frac{{50.51}}{2} = - 25\pi + 2550\pi = 2525\pi $

$\Rightarrow a = 2525$

Vậy $a + 2025 = 2525 + 2025 = 4550$.

Câu 20:

Gọi \[S\] là tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 $. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \[S\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 = {2^4}.{2^{\frac{1}{2}}} = {2^{\frac{9}{2}}}$
Suy ra: ${x^2} - 6x - \frac{5}{2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 7 = 0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-7)=0$
$\Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 7$
Vậy $S = \{-1; 7\}$. Tổng bình phương các phần tử của $S$ là $(-1)^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$.

Câu 21:

Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình $4 \cdot \,3{\,^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + 9 \cdot {4^{\log \left( {10x} \right)}} = 13 \cdot \,{6^{1 + \log x}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 22:

Một công ty sản xuất điện thoại di động phát hiện số lượng sản phẩm bán ra có thể được mô tả bằng công thức $N\left( t \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {kt + 1} \right)$ (với $t \ge 0$, $k$ là hằng số dương), trong đó $N\left( t \right)$ là số lượng điện thoại bán được (chiếc) sau $t$ tháng kể từ khi phát hành sản phẩm. Biết sau tháng thứ nhất công ty bán được $1\,000$ chiếc, sau tháng thứ 5 công ty bán được $2\,000$ chiếc. Hỏi sau bao nhiêu tháng công ty bán được \[3\,000\] chiếc điện thoại di động

Lời giải: