Câu hỏi:

Ta có \(y=\frac{2 \cos x+1}{\cos x-2}=2+\frac{5}{\cos x-2}\).

Mà ta luôn có

\(-1 \leq \cos x \leq 1 \Leftrightarrow-3 \leq \cos x-2 \leq-1 \Leftrightarrow-\frac{5}{3} \geq \frac{5}{\cos x-2} \geq-5\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \geq 2+\frac{5}{\cos x-2} \geq-3 \Leftrightarrow-\frac{1}{3} \geq y \geq-3\)

Vậy \(9 M+m=0\).

Ta có \(u_{1}<u_{2}<u_{3}\), ta dự đoán dãy số đã cho là dãy số tăng. Ta chứng minh quy nạp.

Theo giả thiết ta thấy \(u_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Giả sử \(u_{k}>u_{k-1} \geq 2\). Ta chứng minh \(u_{k+1}>u_{k}\).

Thật vậy: \(u_{k+1}-u_{k}=\frac{1}{3}\left(u_{k}-u_{k+1}\right)>0 \Leftrightarrow u_{k+1}>u_{k}\).

Vậy dãy đã cho là dãy tăng.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(\mathrm{BD}, \mathrm{K}\) là trọng tâm của tam giác ABD .

Ta có \(\mathrm{AB}, \mathrm{DC}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng ( PIQ ) nên vecto \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

\(\mathrm{AB}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng (P I Q) nên vecto \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

\(\mathrm{DC}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng (PIQ) nên vecto \(\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

Ta có \(n=20\). Khi đó \(\frac{3}{4} \cdot 20=15\) và \(1+3+8<15<1+3+8+6\).

Vậy tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [12;13) .

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\) suy ra \(A H \perp C D\)

Mà \(\left\{\begin{array}{l}(A C D) \perp(B C D) \\ (A C D) \cap(B C D)=C D\end{array}\right.\)

Suy ra \(A H \perp(B C D)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\) nên \(C M \perp A B\)

Và \(\left\{\begin{array}{l}(A B C) \perp(A B D) \\ (A B C) \cap(A B D)=A B\end{array} \Rightarrow C M \perp D M\right.\).

\(\triangle A B C=\triangle A B D \Rightarrow M C=D M \Rightarrow \triangle M C D\) vuông cân tại \(M\).

Đặt \(C D=x \Rightarrow A H^{2}=B H^{2}=a^{2}+\frac{x^{2}}{4} \Leftrightarrow A B^{2}=A H^{2}+B H^{2}=2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}\).

Ta có

\(M H=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \Leftrightarrow M H=\frac{\sqrt{2}}{2} C D \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x \Leftrightarrow 4 a^{2}=3 x^{2} \Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}} a\).