Câu hỏi:

Cho hàm số $y = f(x)$y=f(x) có đạo hàm, liên tục trên $[0 ; 1]$[0;1], thỏa mãn $2 f(x)+3 f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$2f(x)+3f(1−x)=1−x2​. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x) \mathrm{d} x$0∫1​f′(x)dx bằng

Cho hai hàm số $f\left(x \right)$f(x), $g\left(x \right)$g(x) liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$[a;b] và số thực $k$k. Khẳng định nào sau đây sai?

Nếu $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}\left[2x-3f(x)\right]\mathrm{d}x=3$0∫2​[2x−3f(x)]dx=3 thì $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}f(x) \mathrm{d}x$0∫2​f(x)dx bằng

Nếu $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=6$1∫2​f(x)dx=6 và $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{g\left(x \right)\mathrm{d}x}=-2$1∫2​g(x)dx=−2 thì $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\left[ f\left(x \right)-3g\left(x \right) \right]}\mathrm{d}x$1∫2​[f(x)−3g(x)]dx bằng

Cho $\displaystyle \int\limits_{0}^{4} f(x)\mathrm{d}x=4$0∫4​f(x)dx=4 và $\displaystyle \int\limits_{1}^{2} f(x)\mathrm{d}x=3$1∫2​f(x)dx=3. Tích phân $I=\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}+\displaystyle \int\limits_{2}^{4} f(x)\mathrm{d}x$I=0∫1​f(x)dx+2∫4​f(x)dx bằng

Biết $\displaystyle \int\limits_{2\,023}^{2\,024} f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{4\,045}{2}$2023∫2024​f(x)dx=24045​. Giá trị $\displaystyle \int\limits_{2\,023}^{2\,024}2f(x)\mathrm{d}x$2023∫2024​2f(x)dx bằng

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$y=f(x) có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$[−1;2] thỏa mãn $f\left(-1 \right)=3$f(−1)=3, $f\left(2 \right)=-1$f(2)=−1. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{{f}'\left(x \right)\mathrm{d}x}$−1∫2​f′(x)dx bằng

Cho hàm số $y=f(x)$y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$[−2;3] thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} f'(x)\mathrm{d}x=8$−2∫3​f′(x)dx=8 và $f(3)=12$f(3)=12. Khi đó, $f(-2)$f(−2) bằng

Xét $f(x)$f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$[a;b], (với $a\lt b$a<b) và $F(x)$F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$f(x) trên đoạn $[ a;b ]$[a;b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?