IQ của 600 người nộp đơn xét tuyển ở một trường cao đẳng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 115 và độ lệch chuẩn là 12. Nếu trường cao đẳng đòi hỏi IQ tối thiểu là 95 thì có trung bình bao nhiêu người bị loại bởi tiêu chuẩn trên?

Câu hỏi bao gồm hai phần chính, yêu cầu áp dụng các khái niệm thống kê suy luận để ước lượng và kiểm định giả thuyết. Phần a) tập trung vào việc ước lượng khoảng tin cậy cho một tỷ lệ, trong khi phần b) yêu cầu thực hiện kiểm định giả thuyết về tỷ lệ. Cả hai phần đều dựa trên dữ liệu từ các cuộc khảo sát ý kiến sinh viên về hình thức thi trực tuyến.

Phần a) Ước lượng khoảng tin cậy cho số sinh viên đồng ý thi trực tuyến:

1. Xác định các tham số:
* Cỡ mẫu (n): 200 sinh viên.
* Số sinh viên đồng ý thi trực tuyến trong mẫu: 120.
* Tỷ lệ mẫu (p̂) đồng ý thi trực tuyến: 120 / 200 = 0.6.
* Tổng thể (N): 3800 sinh viên.
* Độ tin cậy: 95%.

2. Tìm giá trị Z cho độ tin cậy 95%:
Với độ tin cậy 95%, mức ý nghĩa α = 1 - 0.95 = 0.05. Giá trị Z α/2 = Z 0.025 là 1.96.

3. Tính sai số biên (Margin of Error - E):
Công thức tính sai số biên cho tỷ lệ là: E = Z α/2 * sqrt(p̂(1-p̂)/n).
E = 1.96 * sqrt(0.6 * (1 - 0.6) / 200)
E = 1.96 * sqrt(0.6 * 0.4 / 200)
E = 1.96 * sqrt(0.24 / 200)
E = 1.96 * sqrt(0.0012)
E ≈ 1.96 * 0.03464 ≈ 0.0679

4. Tính khoảng tin cậy cho tỷ lệ:
Khoảng tin cậy cho tỷ lệ là (p̂ - E, p̂ + E).
Khoảng tin cậy = (0.6 - 0.0679, 0.6 + 0.0679)
Khoảng tin cậy = (0.5321, 0.6679).

5. Ước lượng số sinh viên đồng ý thi trực tuyến trong tổng thể:
Để ước lượng số sinh viên trong tổng thể, ta nhân tỷ lệ ở hai đầu của khoảng tin cậy với quy mô tổng thể.
Ước lượng dưới = 0.5321 * 3800 ≈ 2021.98
Ước lượng trên = 0.6679 * 3800 ≈ 2538.02

Vậy, với độ tin cậy 95%, số sinh viên đồng ý thi trực tuyến ở môn Toán kinh tế ước lượng nằm trong khoảng từ 2022 đến 2538 sinh viên.

Phần b) Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ sinh viên muốn thi trắc nghiệm:

1. Đặt giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Tỷ lệ sinh viên muốn thi trắc nghiệm không tăng lên từ tháng 1-2021 đến tháng 6-2021. (p ≤ 0.6)
* Giả thuyết đối (Ha): Tỷ lệ sinh viên muốn thi trắc nghiệm có tăng lên từ tháng 1-2021 đến tháng 6-2021. (p > 0.6)
Đây là kiểm định một phía (bên phải).

2. Xác định các tham số:
* Tỷ lệ sinh viên muốn thi trắc nghiệm trong tháng 1-2021 (tỷ lệ giả thuyết): p0 = 0.6.
* Cỡ mẫu khảo sát tháng 6-2021 (chỉ xét những người đồng ý thi trực tuyến): n = 120.
* Số sinh viên muốn thi trắc nghiệm trong mẫu tháng 6-2021: 75.
* Tỷ lệ mẫu tháng 6-2021 (p̂): 75 / 120 = 0.625.
* Mức ý nghĩa (α): 5% = 0.05.

3. Tìm giá trị Z tới hạn:
Với kiểm định một phía bên phải và α = 0.05, giá trị Z tới hạn (Z_α) là 1.645.

4. Tính thống kê Z:
Công thức tính thống kê Z cho kiểm định tỷ lệ là: Z = (p̂ - p0) / sqrt(p0 * (1-p0) / n).
Z = (0.625 - 0.6) / sqrt(0.6 * (1 - 0.6) / 120)
Z = 0.025 / sqrt(0.6 * 0.4 / 120)
Z = 0.025 / sqrt(0.24 / 120)
Z = 0.025 / sqrt(0.002)
Z ≈ 0.025 / 0.04472 ≈ 0.559

5. So sánh và đưa ra kết luận:
So sánh thống kê Z tính được với giá trị Z tới hạn:
Z = 0.559 < Z_α = 1.645.

Vì giá trị thống kê Z nhỏ hơn giá trị tới hạn, ta không có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết không (H0) ở mức ý nghĩa 5%.

Kết luận: Không thể cho rằng tỷ lệ sinh viên muốn thi trắc nghiệm đã tăng lên từ tháng 1-2021 đến tháng 6-2021 với mức ý nghĩa 5%.

Câu hỏi yêu cầu thực hiện ba phần tính toán thống kê dựa trên dữ liệu bán hàng của sản phẩm A tại một siêu thị B:

Phần a) Ước lượng doanh thu trung bình hàng tuần với độ tin cậy 95%:

1. Xác định loại dữ liệu: Dữ liệu là khối lượng bán theo khoảng (dữ liệu nhóm) và tần suất tương ứng. Để tính toán các giá trị thống kê, ta cần tìm điểm giữa của mỗi khoảng lớp.
* Khoảng 10-30: Điểm giữa = (10+30)/2 = 20
* Khoảng 30-40: Điểm giữa = (30+40)/2 = 35
* Khoảng 40-50: Điểm giữa = (40+50)/2 = 45
* Khoảng 50-60: Điểm giữa = (50+60)/2 = 55
* Khoảng 60-70: Điểm giữa = (60+70)/2 = 65
* Khoảng 70-80: Điểm giữa = (70+80)/2 = 75
* Khoảng 80-90: Điểm giữa = (80+90)/2 = 85
* Khoảng 90-100: Điểm giữa = (90+100)/2 = 95
* Khoảng 100-130: Điểm giữa = (100+130)/2 = 115

2. Tính trung bình mẫu (khối lượng bán trung bình hàng ngày):
* Tổng số ngày điều tra (N) = 4 + 8 + 30 + 45 + 25 + 20 + 15 + 10 + 3 = 160 ngày.
* Trung bình mẫu (x̄) = Σ(xᵢ * nᵢ) / N
= (20*4 + 35*8 + 45*30 + 55*45 + 65*25 + 75*20 + 85*15 + 95*10 + 115*3) / 160
= (80 + 280 + 1350 + 2475 + 1625 + 1500 + 1275 + 950 + 345) / 160
= 9880 / 160 = 61.75 kg/ngày.

3. Tính phương sai mẫu (s²) và độ lệch chuẩn mẫu (s):
* Phương sai mẫu hiệu chỉnh (s²) = [Σ(nᵢ * (xᵢ - x̄)²) ] / (N-1)
Hoặc sử dụng công thức tính nhanh: s² = [Σ(nᵢ * xᵢ²) - N * x̄²] / (N-1)
Σ(nᵢ * xᵢ²) = 4*20² + 8*35² + 30*45² + 45*55² + 25*65² + 20*75² + 15*85² + 10*95² + 3*115²
= 4*400 + 8*1225 + 30*2025 + 45*3025 + 25*4225 + 20*5625 + 15*7225 + 10*9025 + 3*13225
= 1600 + 9800 + 60750 + 136125 + 105625 + 112500 + 108375 + 90250 + 39675
= 664700
s² = (664700 - 160 * 61.75²) / (160 - 1)
s² = (664700 - 160 * 3813.0625) / 159
s² = (664700 - 610090) / 159
s² = 54610 / 159 ≈ 343.459
* Độ lệch chuẩn mẫu (s) = √s² ≈ √343.459 ≈ 18.533 kg/ngày.

4. Xây dựng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể (μ) của khối lượng bán hàng:
* Vì N lớn (160 > 30) và độ lệch chuẩn tổng thể không biết, ta sử dụng phân phối t. Tuy nhiên, với N lớn, phân phối t xấp xỉ phân phối chuẩn. Tuy nhiên, ta vẫn nên sử dụng t.
* Độ tin cậy 95% tương ứng với α = 0.05. Với N=160, bậc tự do df = N-1 = 159. Giá trị t_{α/2, df} cho α/2 = 0.025 và df=159 gần với giá trị t cho ∞ bậc tự do (từ bảng t, t_{0.025, ∞} ≈ 1.96). Sử dụng t_{0.025, 159} ≈ 1.975 (tra bảng hoặc dùng phần mềm).
* Sai số chuẩn của trung bình mẫu (SE) = s / √N = 18.533 / √160 ≈ 18.533 / 12.649 ≈ 1.465 kg/ngày.
* Khoảng tin cậy cho μ: x̄ ± t_{α/2, N-1} * SE
61.75 ± 1.975 * 1.465
61.75 ± 2.892
[58.858, 64.642] kg/ngày.

5. Ước lượng doanh thu trung bình hàng tuần:
* Doanh thu trung bình hàng ngày = Trung bình mẫu khối lượng * Giá bán
Giá bán = 5000 đồng/kg.
* Khoảng tin cậy cho doanh thu trung bình hàng ngày:
[58.858 * 5000, 64.642 * 5000]
[294,290,000 đồng, 323,210,000 đồng].
* Doanh thu trung bình hàng tuần (ước lượng từ trung bình mẫu hàng ngày) = 61.75 kg/ngày * 5000 đồng/kg * 7 ngày/tuần
= 308.75 kg/tuần * 5000 đồng/kg = 1,543,750,000 đồng/tuần.
* Khoảng tin cậy cho doanh thu trung bình hàng tuần:
[294,290,000 * 7, 323,210,000 * 7]
[2,060,030,000 đồng, 2,262,470,000 đồng].
(Lưu ý: Có thể hiểu câu hỏi là ước lượng doanh thu trung bình của 160 ngày rồi nhân với 7/160 hoặc nhân trung bình 1 ngày với 7. Cách thứ hai phổ biến hơn khi tính trung bình tuần dựa trên trung bình ngày.)

Phần b) Kiểm định xem độ biến động (độ lệch chuẩn) ở siêu thị C có cao hơn ở siêu thị B không:

1. Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không H₀: Độ lệch chuẩn ở siêu thị B (σ_B) ≥ Độ lệch chuẩn ở siêu thị C (σ_C).
* Giả thuyết đối H₁: Độ lệch chuẩn ở siêu thị B (σ_B) < Độ lệch chuẩn ở siêu thị C (σ_C).
Hoặc viết theo phương sai: H₀: σ²_B ≥ σ²_C và H₁: σ²_B < σ²_C.

2. Dữ liệu:
* Độ lệch chuẩn ở siêu thị C (cho trước, là độ lệch chuẩn tổng thể của C): σ_C = 20 kg/ngày => Phương sai σ²_C = 20² = 400.
* Từ phần a), ta có độ lệch chuẩn mẫu của siêu thị B là s_B ≈ 18.533 kg/ngày => Phương sai mẫu s²_B ≈ 343.459.
* Kích thước mẫu N_B = 160.
* Mức ý nghĩa α = 5% = 0.05.

3. Chọn kiểm định: Kiểm định F cho hai phương sai hoặc kiểm định Chi-bình phương cho một phương sai (vì ta chỉ có dữ liệu từ siêu thị B và giả định về độ lệch chuẩn của siêu thị C).
Ở đây, ta sẽ dùng kiểm định Chi-bình phương cho phương sai của siêu thị B so với một giá trị giả định cho trước (phương sai của siêu thị C).
* Kiểm định H₀: σ²_B = 400 (hoặc σ²_B ≥ 400) so với H₁: σ²_B < 400.
* Hoặc H₀: σ²_C = 400 (độ lệch chuẩn của C bằng 400) so với H₁: σ²_C > 400 (độ biến động ở C cao hơn B, tức là độ biến động ở B thấp hơn C).
* Câu hỏi là: "có thể cho rằng độ biến động này [của siêu thị C] cao hơn độ biến động về khối lượng bán trong một ngày ở siêu thị B hay không?" Điều này tương đương với việc so sánh σ_C với σ_B.
* Giả thuyết là: H₀: σ_C ≤ σ_B và H₁: σ_C > σ_B.
* Với dữ liệu chỉ có từ siêu thị B (N=160, s²_B = 343.459) và thông tin về siêu thị C (σ_C = 20, σ²_C = 400).
* Ta kiểm định xem phương sai mẫu của B có đủ nhỏ hơn phương sai của C hay không.
* Kiểm định Chi-bình phương cho một phương sai: (N-1) * s²_B / σ²_C (với σ²_C là giá trị giả định theo H₀).
* Nếu H₀: σ_B = σ_C, thì ta so sánh s²_B với σ²_C = 400.
* Nếu H₁: σ_C > σ_B, thì ta đang xem xét liệu phương sai của B có nhỏ hơn đáng kể so với 400 hay không.
* Thống kê kiểm định: χ² = (N-1) * s²_B / σ²_H₀ (trong đó σ²_H₀ là giá trị phương sai dưới H₀).
* Ta muốn kiểm định liệu phương sai của B (s²_B ≈ 343.459) có thấp hơn phương sai của C (σ²_C = 400) hay không.
* Giả thuyết: H₀: σ²_B ≥ 400, H₁: σ²_B < 400.
* Thống kê kiểm định: χ² = (160-1) * 343.459 / 400 = 159 * 343.459 / 400 ≈ 136.65.
* Bậc tự do df = N-1 = 159.
* Với mức ý nghĩa α = 0.05 và kiểm định một phía (bên trái vì H₁: σ²_B < 400), ta tìm giá trị tới hạn χ²_{α, df} = χ²_{0.05, 159}. Tra bảng hoặc dùng phần mềm, giá trị này xấp xỉ 134.805.
* So sánh: Giá trị thống kê kiểm định (136.65) > Giá trị tới hạn (134.805).
* Kết luận: Do giá trị thống kê kiểm định nằm ở bên phải của vùng bác bỏ (vùng bác bỏ là các giá trị nhỏ hơn 134.805), ta không bác bỏ giả thuyết H₀. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng thống kê để kết luận rằng độ biến động ở siêu thị B thấp hơn độ biến động được giả định của siêu thị C (là 400).
* Nói cách khác, với mức ý nghĩa 5%, ta không thể khẳng định rằng độ biến động về khối lượng bán của siêu thị C (20 kg) cao hơn độ biến động của siêu thị B (ước tính ~18.53 kg).
* Diễn giải lại theo câu hỏi: "có thể cho rằng độ biến động này [ở C, 20kg] cao hơn độ biến động về khối lượng bán trong một ngày ở siêu thị B [~18.53kg] hay không?" Vì ta không bác bỏ H₀ (σ²_B ≥ 400), có nghĩa là phương sai của B có thể bằng hoặc lớn hơn phương sai của C. Do đó, ta không có đủ bằng chứng để nói rằng độ biến động ở C cao hơn ở B.

Phần c) Xác định số ngày cần điều tra thêm để ước lượng tỷ lệ ngày “không đạt chỉ tiêu”:

1. Thiết lập yêu cầu:
* Tỷ lệ ngày “không đạt chỉ tiêu” (p) cần được ước lượng.
* Độ chính xác mong muốn (sai số biên) = E = 0.05.
* Độ tin cậy = 95%, tương ứng với α = 0.05. Giá trị Z_α/2 = Z_0.025 ≈ 1.96.

2. Công thức tính kích thước mẫu cho tỷ lệ:
* n = (Z_α/2² * p̂ * (1-p̂)) / E²
* Vì chưa có ước lượng ban đầu về tỷ lệ p̂, ta sử dụng trường hợp xấu nhất (worst-case scenario) để đảm bảo kích thước mẫu đủ lớn, đó là p̂ = 0.5.
* Khi p̂ = 0.5, thì p̂ * (1-p̂) = 0.5 * 0.5 = 0.25, đây là giá trị lớn nhất có thể.

3. Tính kích thước mẫu cần thiết (n_total):
* n_total = (1.96² * 0.5 * 0.5) / 0.05²
= (3.8416 * 0.25) / 0.0025
= 0.9604 / 0.0025
= 384.16.
* Do số ngày phải là số nguyên, ta làm tròn lên: n_total = 385 ngày.

4. Tính số ngày cần điều tra thêm:
* Số ngày đã điều tra ban đầu là N = 160 ngày.
* Trong 160 ngày này, có bao nhiêu ngày “không đạt chỉ tiêu”? Ngày “không đạt chỉ tiêu” là những ngày bán không quá 50 kg.
* Ta cần xem xét các khoảng lớp có điểm giữa ≤ 50.
* Khoảng 10-30 (điểm giữa 20): 4 ngày.
* Khoảng 30-40 (điểm giữa 35): 8 ngày.
* Khoảng 40-50 (điểm giữa 45): 30 ngày.
* Tổng số ngày đã biết có số kg bán ≤ 50 là: 4 + 8 + 30 = 42 ngày.
* Tuy nhiên, cách tính này chỉ đúng nếu ta có thể gán các ngày này cho một nhóm 'không đạt chỉ tiêu'. Dữ liệu là theo khoảng, nên 42 ngày này chắc chắn là những ngày không đạt chỉ tiêu.
* Ước lượng tỷ lệ ban đầu từ dữ liệu đã có: p̂_initial = 42 / 160 = 0.2625.
* Sử dụng p̂_initial = 0.2625 để tính kích thước mẫu chính xác hơn:
n_total = (1.96² * 0.2625 * (1-0.2625)) / 0.05²
n_total = (3.8416 * 0.2625 * 0.7375) / 0.0025
n_total = (3.8416 * 0.19359375) / 0.0025
n_total = 0.7440171875 / 0.0025
n_total ≈ 297.6
* Làm tròn lên: n_total = 298 ngày.
* Số ngày cần điều tra thêm = n_total - số ngày đã có đủ thông tin để tính p̂ ban đầu.
* Ở đây, N = 160 là tổng số ngày đã điều tra. Chúng ta đã có 42 ngày 'không đạt chỉ tiêu' và 118 ngày 'đạt chỉ tiêu' (hoặc hơn).
* Chúng ta đã có dữ liệu cho 160 ngày. Nếu p̂_initial = 0.2625 là đủ tin cậy, thì tổng số ngày cần là 298. Số ngày cần điều tra thêm là 298 - 160 = 138 ngày.
* Tuy nhiên, câu hỏi thường ngụ ý là tính kích thước mẫu tối thiểu cần thiết cho toàn bộ nghiên cứu, sau đó trừ đi những gì đã có. Nếu ta giả định 160 ngày là dữ liệu ban đầu và muốn bổ sung để đạt đủ kích thước mẫu thì ta sẽ lấy 298 - 160.
* Tuy nhiên, cũng có cách hiểu là ta chỉ cần bổ sung thêm số ngày cần thiết dựa trên p̂_initial. Tức là ta cần 298 ngày. Đã có 160 ngày. Vậy cần thêm 298 - 160 = 138 ngày.
* Một cách hiểu khác: ta đã có 42 ngày 'không đạt chỉ tiêu'. Ta cần tổng số ngày là 298. Vậy ta cần thêm 298 - 42 = 256 ngày nữa để có đủ số ngày 'không đạt chỉ tiêu' (0.2625*298 ≈ 77 ngày) và số ngày 'đạt chỉ tiêu'.
* Cách thông thường nhất khi hỏi "cần điều tra thêm bao nhiêu ngày nữa" là lấy kích thước mẫu cần thiết cho toàn bộ khảo sát (n_total) trừ đi số ngày đã khảo sát (N). Nếu p̂ đã ước tính được từ N, thì lấy n_total - N.
* n_total = 298 ngày. N = 160 ngày. Số ngày cần thêm = 298 - 160 = 138 ngày.
* Nếu sử dụng p̂ = 0.5 (trường hợp xấu nhất), n_total = 385 ngày. Số ngày cần thêm = 385 - 160 = 225 ngày.
* Với độ chính xác 0.05 và độ tin cậy 95%, ta cần n = 385 ngày nếu không có ước lượng ban đầu. Đã có 160 ngày, vậy cần thêm 385 - 160 = 225 ngày.
* Nếu dùng ước lượng p̂ = 0.2625, ta cần 298 ngày. Đã có 160 ngày, vậy cần thêm 298 - 160 = 138 ngày.
* Thông thường, khi đề bài cho dữ liệu ban đầu, ta nên dùng ước lượng từ dữ liệu đó. Vậy ta dùng n_total = 298.
* Số ngày cần điều tra thêm = 298 - 160 = 138 ngày.

Do câu hỏi không cung cấp các đáp án cụ thể để lựa chọn, tôi sẽ phân tích cách giải và đưa ra kết quả cho từng phần.

Tổng kết các kết quả tính toán:

a) Doanh thu trung bình hàng tuần (ước lượng): 1,543,750,000 đồng/tuần.
Khoảng tin cậy 95% cho doanh thu trung bình hàng tuần: [2,060,030,000 đồng, 2,262,470,000 đồng].

b) Với mức ý nghĩa 5%, không đủ bằng chứng để kết luận độ biến động ở siêu thị C (20 kg) cao hơn độ biến động ở siêu thị B (ước tính 18.53 kg).

c) Cần điều tra thêm 138 ngày nữa để ước lượng tỷ lệ ngày “không đạt chỉ tiêu” với độ chính xác 0,05 và độ tin cậy 95% (dựa trên ước lượng ban đầu từ dữ liệu có sẵn).
Hoặc cần điều tra thêm 225 ngày nếu dùng trường hợp xấu nhất (p=0.5).

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là áp dụng Định lý Bayes để tính xác suất có điều kiện. Chúng ta cần tìm xác suất một người không thực sự dương tính (âm tính giả) biết rằng kết quả xét nghiệm cho thấy anh ta dương tính.

Để giải quyết bài toán này, ta cần định nghĩa các biến cố sau:
- D: Biến cố người đó thực sự dương tính với Covid-19.
- D': Biến cố người đó không thực sự dương tính với Covid-19 (âm tính thật).
- T: Biến cố kết quả xét nghiệm cho ra dương tính.
- T': Biến cố kết quả xét nghiệm cho ra âm tính.

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:
- Xác suất một người thực sự dương tính (tỷ lệ người nhiễm trong nhóm): P(D) = 5% = 0.05.
- Do đó, xác suất một người không thực sự dương tính: P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.05 = 0.95.
- Độ chính xác của xét nghiệm khi người đó dương tính (xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính khi thực sự dương tính - độ nhạy): P(T|D) = 90% = 0.90.
- Tỷ lệ xét nghiệm sai khi người đó dương tính (xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính khi thực sự dương tính - độ đặc hiệu, hoặc sai sót âm tính): P(T'|D) = 1 - P(T|D) = 1 - 0.90 = 0.10. Tuy nhiên, đề bài cho biết tỷ lệ xét nghiệm sai là 10% khi dương tính, điều này có thể hiểu là P(T'|D) = 0.10 hoặc P(T|D') = 0.10. Cần làm rõ ý nghĩa "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%". Nếu hiểu là sai khi dương tính, tức là âm tính giả, thì P(T'|D) = 0.10. Nếu hiểu là sai nói chung (dương tính giả hoặc âm tính giả), thì không đủ thông tin.

Tuy nhiên, với cách diễn đạt "có khả năng xác định dương tính Covid-19 chính xác 90% người nghi nhiễm, tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%", thường hiểu rằng:
- Độ nhạy (Sensitivity): P(T|D) = 0.90 (Xét nghiệm dương tính khi thực sự dương tính).
- Tỷ lệ sai số (Error rate): Nếu không rõ là sai loại nào, ta cần suy luận. Một cách hiểu phổ biến là "tỷ lệ xét nghiệm sai" đề cập đến sai sót của xét nghiệm, có thể là dương tính giả hoặc âm tính giả. Tuy nhiên, nếu "chính xác 90% người nghi nhiễm" đã đề cập đến P(T|D), thì "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%" có thể ám chỉ P(T|D') (xác suất xét nghiệm dương tính khi thực sự âm tính - dương tính giả) hoặc P(T'|D) (xác suất xét nghiệm âm tính khi thực sự dương tính - âm tính giả).

Giả sử "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%" có nghĩa là xác suất xét nghiệm cho ra kết quả KHÔNG ĐÚNG với thực tế. Nếu "chính xác 90% người nghi nhiễm" là P(T|D)=0.90, thì tỷ lệ sai sót trong trường hợp này là P(T'|D) = 0.10. Điều này hợp lý vì P(T|D) + P(T'|D) = 1.

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm P(D'|T): xác suất người đó không thực sự dương tính (âm tính thật) biết rằng kết quả xét nghiệm là dương tính.

Theo Định lý Bayes: P(D'|T) = [P(T|D') * P(D')] / P(T)

Chúng ta cần tính P(T|D') và P(T).

- P(T|D'): Đây là xác suất xét nghiệm cho ra dương tính khi người đó thực sự âm tính (dương tính giả). Đề bài nói "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%". Nếu hiểu "tỷ lệ xét nghiệm sai" là tỷ lệ dương tính giả, thì P(T|D') = 0.10.

- P(T): Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính, ta tính bằng công thức xác suất toàn phần:
P(T) = P(T|D) * P(D) + P(T|D') * P(D')

Thay số vào:
P(T) = (0.90 * 0.05) + (0.10 * 0.95)
P(T) = 0.045 + 0.095
P(T) = 0.14

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức Bayes để tính P(D'|T):
P(D'|T) = [P(T|D') * P(D')] / P(T)
P(D'|T) = (0.10 * 0.95) / 0.14
P(D'|T) = 0.095 / 0.14
P(D'|T) = 95 / 140
P(D'|T) = 19 / 28

P(D'|T) ≈ 0.67857

Như vậy, xác suất người đó không thực sự dương tính, biết rằng kết quả xét nghiệm dương tính, là khoảng 67.86%.

Lưu ý quan trọng về diễn đạt đề bài:
Cách diễn đạt "xác định dương tính Covid-19 chính xác 90% người nghi nhiễm, tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%" có thể gây nhầm lẫn.

Nếu "chính xác 90% người nghi nhiễm" ám chỉ P(T|D) = 0.90, thì "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%" có thể hiểu là:
1. P(T'|D) = 0.10 (sai sót âm tính - âm tính giả).
2. P(T|D') = 0.10 (sai sót dương tính - dương tính giả).

Phần lớn các bài toán tương tự sẽ diễn đạt rõ hơn, ví dụ:
- Độ nhạy là 90% (P(T|D) = 0.90).
- Độ đặc hiệu là X% (P(T'|D') = X%).
Hoặc:
- Xác suất dương tính giả là Y% (P(T|D') = Y%).
- Xác suất âm tính giả là Z% (P(T'|D) = Z%).

Trong trường hợp này, nếu "chính xác 90% người nghi nhiễm" là P(T|D) = 0.90, thì "tỷ lệ xét nghiệm sai là 10%" khó có thể là P(T'|D) = 0.10 vì nó đã được suy ra từ P(T|D). Khả năng cao hơn là nó ám chỉ P(T|D') = 0.10 (tỷ lệ dương tính giả).

Kiểm tra lại cách hiểu:
- P(D) = 0.05 (tỷ lệ thực sự dương tính)
- P(D') = 0.95 (tỷ lệ thực sự âm tính)
- P(T|D) = 0.90 (độ nhạy: xét nghiệm dương khi thực sự dương)
- P(T|D') = 0.10 (tỷ lệ dương tính giả: xét nghiệm dương khi thực sự âm)

Chúng ta cần tìm P(D'|T), tức là xác suất thực sự âm tính khi xét nghiệm dương tính.

Theo Bayes:
P(D'|T) = P(T|D') * P(D') / P(T)

P(T) = P(T|D) * P(D) + P(T|D') * P(D')
P(T) = 0.90 * 0.05 + 0.10 * 0.95
P(T) = 0.045 + 0.095 = 0.14

P(D'|T) = (0.10 * 0.95) / 0.14
P(D'|T) = 0.095 / 0.14
P(D'|T) = 95 / 140 = 19 / 28

Kết quả này cho thấy, dù xét nghiệm dương tính, vẫn có tới 19/28 (khoảng 67.86%) khả năng người đó không thực sự dương tính. Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của tỷ lệ dương tính giả và tỷ lệ người thực sự dương tính trong quần thể khi diễn giải kết quả xét nghiệm.

Diễn đạt lại câu hỏi cho rõ ràng hơn:
Một loại xét nghiệm nhanh có độ nhạy là 90% (khả năng phát hiện đúng người dương tính) và tỷ lệ dương tính giả là 10% (khả năng báo dương tính với người âm tính). Nếu chọn một người từ một nhóm dân cư mà 5% trong số đó thực sự dương tính với Covid-19, và người này có kết quả xét nghiệm dương tính. Tìm xác suất để người đó thực sự không dương tính (tức là kết quả xét nghiệm là dương tính giả).

Câu hỏi yêu cầu tính xác suất để thời gian hoạt động của một bộ phận điện tử lớn hơn 70 giờ, khi biết hàm phân phối xác suất của thời gian hoạt động đó là hàm mũ. Hàm phân phối xác suất $F(x)$ cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên $X$ nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $x$, tức là $P(X \le x) = F(x)$.

Theo đề bài, ta có hàm phân phối xác suất của thời gian hoạt động $X$ là:
\[ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\tfrac{x}{50}}, & \text{với } x > 0, \\ 0, & \text{với } x \leq 0. \end{cases} \]

Chúng ta cần tính xác suất để thời gian hoạt động lớn hơn 70 giờ, tức là $P(X > 70)$.

Chúng ta biết rằng tổng xác suất là 1, do đó, xác suất $P(X > 70)$ có thể được tính bằng cách lấy 1 trừ đi xác suất $P(X \le 70)$.

$P(X > 70) = 1 - P(X \le 70)$

Theo định nghĩa của hàm phân phối xác suất, $P(X \le 70) = F(70)$.

Vì $70 > 0$, ta sử dụng biểu thức của $F(x)$ cho $x > 0$:

$F(70) = 1 - e^{-\tfrac{70}{50}}$

$F(70) = 1 - e^{-\tfrac{7}{5}}$

$F(70) = 1 - e^{-1.4}$

Bây giờ, thay giá trị này vào biểu thức tính $P(X > 70)$:

$P(X > 70) = 1 - F(70)$

$P(X > 70) = 1 - (1 - e^{-1.4})$

$P(X > 70) = 1 - 1 + e^{-1.4}$

$P(X > 70) = e^{-1.4}$

Để tính giá trị cụ thể, ta sử dụng máy tính:

$e^{-1.4} \approx 0.246597$

Vậy, xác suất để thời gian hoạt động của bộ phận đó lớn hơn 70 giờ là khoảng 0.2466.

Do đó, đáp án đúng là $e^{-1.4}$.