Cho các số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tìm các số tự nhiêm gồm 5 chữ số lấy từ tập trên sao cho không tận cùng bằng chữ số 5.

Xâu nhị phân có độ dài 8 bắt đầu bởi 00 và kết thúc bởi 11 có dạng 00xxxx11, trong đó x có thể là 0 hoặc 1.

Có 4 vị trí x cần điền, mỗi vị trí có 2 lựa chọn (0 hoặc 1). Vì vậy, số lượng xâu nhị phân thỏa mãn là 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁴ = 16.

Tuy nhiên, không có đáp án nào là 16. Có lẽ có một sự nhầm lẫn trong các lựa chọn đáp án. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại.

Nếu yêu cầu là xâu nhị phân độ dài *ít nhất* bằng 8 thì bài toán sẽ khác. Tuy nhiên, với yêu cầu hiện tại, ta phải giả định là không có đáp án đúng ở đây.

Một đồ thị liên thông là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.

- Phương án A: Các bậc là 2, 4, 1, 2, 6. Có đỉnh bậc 1 nên không phải đồ thị Euler.

- Phương án B: Các bậc là 3, 4, 4, 2, 4. Có đỉnh bậc 3 nên không phải đồ thị Euler.

- Phương án C: Các bậc là 1, 4, 2, 5, 2. Có đỉnh bậc 1 và bậc 5 nên không phải đồ thị Euler.

- Phương án D: Các bậc là 4, 4, 6, 5, 3. Có đỉnh bậc 5 và bậc 3 nên không phải đồ thị Euler.

Vậy không có đáp án nào đúng.

Đồ thị K₄ là đồ thị đầy đủ với 4 đỉnh. Trong đồ thị đầy đủ, mỗi đỉnh được nối với tất cả các đỉnh còn lại. Vì vậy:

• Số đỉnh của K₄ là 4.
• Số cạnh của K₄ có thể được tính bằng công thức n(n-1)/2, trong đó n là số đỉnh. Trong trường hợp này, số cạnh là 4(4-1)/2 = 4(3)/2 = 12/2 = 6.

Vậy đồ thị K₄ có 4 đỉnh và 6 cạnh.

Đồ thị phân đôi đầy đủ K_n,m là đồ thị mà tập đỉnh của nó có thể chia thành hai tập rời nhau X và Y, sao cho |X| = n và |Y| = m, và mọi đỉnh trong X đều kề với mọi đỉnh trong Y. Để tô màu cho đồ thị này, ta có thể sử dụng hai màu. Một màu cho tất cả các đỉnh trong X và một màu khác cho tất cả các đỉnh trong Y. Vì không có cạnh nào nối giữa hai đỉnh trong cùng một tập (X hoặc Y), nên không có hai đỉnh kề nhau nào có cùng màu. Do đó, số màu cần thiết là 2.