Định nghĩa bằng đệ qui là phương pháp:

Số các hoán vị của một tập hợp n phần tử là n! (n giai thừa). Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của tập hợp theo một thứ tự cụ thể. Vì vậy, đáp án đúng là n!. Các đáp án khác liên quan đến chỉnh hợp và tổ hợp, không phải hoán vị.

Số các hoán vị lặp cấp m kiểu (k₁, k₂, ..,k_n) của n phần tử khác nhau được tính theo công thức: \({C_m}({k_1},{k_2},...,{k_n}) = \frac{{m!}}{{{k_1}!{k_2}!...{k_n}!}}\) Trong đó: m là tổng số phần tử (m = k₁ + k₂ + ... + k_n), k_i là số lần xuất hiện của phần tử thứ i.

Đoạn chương trình thực hiện các vòng lặp for lồng nhau. Ban đầu, k được gán giá trị là 1. Sau đó, mỗi vòng lặp `for` sẽ tăng giá trị của `k` lên 1. Vòng lặp `for i1` chạy `n1` lần, vòng lặp `for i2` chạy `n2` lần, và cứ tiếp tục như vậy cho đến vòng lặp `for im` chạy `nm` lần. Do đó, tổng số lần `k` được tăng lên là `n1 + n2 + ... + nm`. Vì giá trị ban đầu của `k` là 1, giá trị cuối cùng của `k` sẽ là `1 + n1 + n2 + ... + nm`.

Thuật toán đệ quy `dequy(a, n)` tính giá trị của aⁿ. - `dequy(2, 5)` sẽ tính 2⁵ = 32, do đó phương án 1 và 2 sai. - `dequy(5, 2)` sẽ tính 5² = 25, do đó phương án 3 đúng, phương án 4 sai.

Đây là một bài toán về nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Nguyên lý này nói rằng nếu có n chuồng và nhiều hơn n con bồ câu, thì ít nhất một chuồng phải có nhiều hơn một con bồ câu. Trong bài toán này, "chuồng" là loại học bổng (có 5 loại) và "bồ câu" là sinh viên. Để chắc chắn có 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần tính số lượng sinh viên tối thiểu sao cho trường hợp xấu nhất (mỗi loại học bổng có số sinh viên nhận ít hơn 5) vẫn không xảy ra. Giả sử có x sinh viên. Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng, nếu x > k*n thì ít nhất một "chuồng" chứa nhiều hơn k "bồ câu". Ở đây, ta muốn ít nhất một loại học bổng có ít nhất 5 sinh viên (k=4), và có 5 loại học bổng (n=5). Vậy, ta có x > 4*5, tức là x > 20. Để chắc chắn có ít nhất 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 5 sinh viên vào con số này. Tuy nhiên, cách tiếp cận chính xác hơn là: Giả sử trường hợp xấu nhất xảy ra, mỗi loại học bổng có 4 sinh viên nhận. Vậy tổng cộng có 4 * 5 = 20 sinh viên. Để đảm bảo có ít nhất 5 sinh viên nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 1 sinh viên nữa. Vậy tổng số sinh viên cần là 20 + 1 = 21 sinh viên. Vì vậy, số sinh viên tối thiểu cần phải có là 4*5 + 1 = 21. Nhưng đáp án này không xuất hiện trong các lựa chọn, vậy nên ta phải xem xét lại yêu cầu của bài toán. Đề bài yêu cầu "chắc chắn có 5 người được nhận học bổng NHƯ NHAU", điều này có nghĩa là phải có 5 người nhận CÙNG MỘT loại học bổng. Ta sẽ tiếp tục sử dụng nguyên lý Dirichlet. Trường hợp xấu nhất: Mỗi loại học bổng có 4 người nhận. Vậy tổng cộng là 4 * 5 = 20 người. Để chắc chắn có 5 người nhận cùng một loại học bổng, ta cần thêm 1 người nữa, vậy tổng cộng là 21 người. Tuy nhiên, vẫn không có đáp án đúng. Nếu mỗi loại có x người, thì tổng số người là 5x. Nếu 5 người nhận học bổng như nhau, vậy đáp án phải lớn hơn hoặc bằng 5. Nếu 5 người nhận 1 loại, 5 người nhận loại 2... thì phải có ít nhất 5*5 + 1 = 26 người để có 5 người nhận 1 loại. Vậy nếu có 5 người nhận loại 1, 5 người nhận loại 2, 5 người nhận loại 3, 5 người nhận loại 4, và 5 người nhận loại 5, thì ta có 25 người. Người thứ 26 chắc chắn sẽ làm cho 1 loại có ít nhất 6 người. Tuy nhiên, ta chỉ cần 5 người. Số sinh viên tối thiểu cần có là: 4 (sinh viên/loại) * 5 (loại) + 1 = 21. Vì không có đáp án 21, ta chọn đáp án gần nhất lớn hơn 21, đó là 26, để chắc chắn có ít nhất 5 người nhận học bổng như nhau.