Xét các số phức \(z_{1}=3-4 i \text { và } z_{2}=2+m i,(m \in \mathbb{R})\). Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức \(\frac{z_{2}}{z_{1}}\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \frac{z_{2}}{z_{1}}=\frac{2+m i}{3-4 i}=\frac{(2+m i)(3+4 i)}{(3-4 i)(3+4 i)}=\frac{6-4 m+(3 m+8) i}{25}=\frac{6-4 m}{25}+\frac{3 m+8}{25} i \\ \Rightarrow\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|=\sqrt{\left(\frac{6-4 m}{25}\right)^{2}+\left(\frac{3 m+8}{25}\right)^{2}} \Rightarrow\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|=\sqrt{\frac{36-48 m+16 m^{2}+9 m^{2}+48 m+64}{25^{2}}} \\ \Rightarrow\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|=\sqrt{\frac{25 m^{2}+100}{25^{2}}} \Rightarrow\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|=\sqrt{\frac{m^{2}+4}{25}} \geq \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \end{array}\)
