Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left( t \right)\; = \;\frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\; + \;\frac{{\sin \left( {{\rm{\pi }}t} \right)\;}}{{\rm{\pi }}}$ (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục $\displaystyle  Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $\displaystyle  y = \frac{1}{x}$, $\displaystyle  y = 0,x = 1$ và $\displaystyle  x = a\left( {a > 1} \right)$. 

Một ô tô đang chạy với vận tốc $\displaystyle  10m/s$ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $\displaystyle  v\left( t \right) =  - 5t + 10\left( {m/s} \right)$, trong đó $\displaystyle  t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?

Một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vân tốc $v(t)=t(6-t)(m / s)$ . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại. 

Cho nửa đường tròn đường kính ($AB=4\sqrt5$ ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường $y=f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)$ quay quanh trục Ox có thể tích là V₁ . Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường $y=-3 f(x), y=0, x=a, x=b,(a<b)$quay quanh trục Ox có thể tích là V₂ . Chọn phương án đúng.

Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x$, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.

Một vật chuyển động với vận tốc đấu là v( ) 0 ( ) m s / và có gia tốc được cho bởi công thức $a(t)=v^{\prime}(t)=\frac{2}{t+1}\left(m / s^{2}\right)$. Vận tốc của vật sau 15 giây là $v(15)=8 \ln 2-\log 100(m / s)$ . Tính vận tốc ban đầu của vật. 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, x =  - 3, x =  - 2. và trục hoành được tính bằng công thức nào dưới đây?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{x} ; y=e^{-x} ; x=1$

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{{AB}}{{CD}}$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x, y = 1$ và $y = {{{x^2}} \over 4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1.$

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $x=f(y), x=g(y)$ và hai đường thẳng $y=a, y=b$, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3 \text { là } S=\frac{a}{b}, (a ; b \in \mathbb{Z} ; a \neq 0) ; \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= e^x, trục hoành và các đường thẳng (x=0,x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2}$, trục hoành, và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$.

Quay hình phẳng $\displaystyle  Q$ giới hạn bởi các đường $\displaystyle  {y_1} = \sin x$ và $\displaystyle  {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }$ quanh trục $\displaystyle  Ox$, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường $y = x{e^{{x \over 2}}},y = 0,x = 0$ và $x = 1$.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = {x^2}$ và trục hoành trong miền $x \ge 0$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = \sqrt x ,y = 6 - x$ và trục hoành.