Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm \(A(-1 ;-2 ; 0), B(0 ;-4 ; 0), C(0 ; 0 ;-3)\). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A , gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 -2t, z = -3. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (Oxy), song song với d sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm tập hợp các điểm M(x;y;z) có tỉ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 3y - 2z - 1 = 0;\,\,\,\,\left( Q \right):2x + 2y - z + 6 = 0\) bằng \(\frac{4}{7}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-6+t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.;\textΔ:\left\{ \begin{array} {} x=5+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=-1-t \\ \end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-z-1=0\). Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả \(\textΔ\) và (P). Biết hoành độ điểm I là số nguyên. Tung độ điểm I là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z-19=0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm \(A(9 ;-3 ; 5), B(a ; b ; c)\). Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng toạ độ \((O x y),(O x z) \text { và }(O y z)\) . Biết M , N , P nằm trên đoạn AB sao cho \(A M=M N=N P=P B\) . Giá trị của tổng a + b + c là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;0;0), M (1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x-3 y+z+3=0\). Gọi M , N lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox , Oz . Tính diện tích tam giác OMN 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 2y – 4z + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxy) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 2z + z + 2017 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?

Cho mặt phẳng (P) di động chắn ba trục Ox, Oy, Oz theo ba đoạn \(\overline {OA} = a,\,\,\,\overline {OB} = b,\,\,\,\overline {OC} = c\) khác 0 sao cho \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\). (P) đi qua điểm cố định nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;4;-2) và \(\vec n\) = (-2;3;-4). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận \(\vec n\) làm véc-tơ pháp tuyến là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A,\,{\rm{ }}B,{\rm{ }}\,C\) có tọa độ thỏa mãn \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k \), \(\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k \), \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \). Tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là: 

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho mặt phẳng \((P): 3 x+4 y-5=0\)  , khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P)

Cho tứ diện ABCD có \(A\left( {3, - 2,1} \right),B\left( { - 4,0,3} \right),C\left( {1,4, - 3} \right),D\left( {2,3,5} \right)\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1;2;1), hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M (0; -1; 4) , nhận \(\overrightarrow n = (3; 2; -1) \)là vectơ pháp tuyến là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (-2;4;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) lần lượt là hình chiếu của M trên các trục tọa độ Ox , Oy , Oz .
 

Vị trí tương đối của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{z}{6}\) và mặt phẳng (P): x + y + z - 10 = 0 là: