Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{2}{3} x^{3}-m x^{2}-2\left(3 m^{2}-1\right) x+\frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y^{\prime}=2 x^{2}-2 m x-2\left(3 m^{2}-1\right)=2\left(x^{2}-m x-3 m^{2}+1\right)\)
\(g(x)=x^{2}-m x-3 m^{2}+1\) có \(\Delta=13 m^{2}-4\)
Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow g(x)\)có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>\frac{2 \sqrt{13}}{13} \\ m<-\frac{2 \sqrt{13}}{13} \end{array}\right.(1)\)
\(x_1; x_2\) là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} x_{2}=-3 m^{2}+1 \end{array}\right.\).
Do đó \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m+1=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=0 \\ m=\frac{2}{3} \end{array}\right.\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ \(m=\frac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} + \frac{5}{4}{{\rm{x}}^2} - 12\) là
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = - \sqrt 2 {{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 6\) là
-
Điểm cực đại của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 4{x^2} + 1\) là:
-
Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} + 3\) có đồ thị là (C). Diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C) là:
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 5\) là
-
Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\)
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt 5 {{\rm{x}}^4}{\rm{ - }}{{\rm{x}}^2} - 1\) là
-
Cho hàm số xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
Hỏi đồ thị của hàm số \(g(x)=|f(|x|)\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
-
Hàm số \(y = - 3\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\) có bao nhiêu cực đại?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m – 2} \right){x^5} – \left( {{m^2} – 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại x = 0
-
Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+(m+3) x^{2}+4(m+3) x+m^{3}-m\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1<x_{1}<x_{2}\)
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)…\left( {x – 2019} \right), \forall x \in R\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
-
Cho hàm số \(y = ax⁴ + bx² + c\,(a,b,c\in\mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?
-
Điểm cực đại của hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) là
-
Điều kiện để hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\;\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 điểm cực trị là
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 3m³ có có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 (với O là gốc tọa độ)
-
Tìm cực đại của hàm số \(y = – \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} – 1\)
-
Gọi S là tập giá trị nguyên \(m \in[0 ; 100]\) để hàm số \(y=\left|x^{3}-3 m x^{2}+4 m^{3}-12 m-8\right|\) có 5 cực trị. Tính tổng các phần tử của S.
-
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
