Hình vẽ bên dưới mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân trong một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân \(A\) đang sản xuất với hiệu suất \({{{Q}'}_{1}}(t)=-2{{t}^{2}}+4t+58\) sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân \(B\) đang sản xuất với hiệu suất \({{{Q}'}_{2}}(t)=53+at\) sản phẩm mỗi giờ \((a\in \mathbb{R})\). Biết rằng hàm \({{Q}_{1}}(t)\) và \({{Q}_{2}}(t)\) mô phỏng số lượng sản phẩm mới làm được của công nhân \(A\) và công nhân \(B\) sau \(t\) giờ.

Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng \(4\,m\,\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\)sao cho chiều cao cửa đi là \(CD=2m\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({{m}^{2}}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm.

(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=1\); \(x=4\) khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu \(O\) và \(P\), cách nhau 4m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục Oxy như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình \(y=f\left( x \right)\).

Người ta chứng minh được \({f}''\left( x \right)=\frac{1}{100}\left( 2x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\) với \(0\le x\le 4\). Tại điểm cách điểm P một khoảng 1 mét, tấm ván bị võng xuống bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Một đội thi công cầu đường A vừa đấu thầu được dự án xây cầu ở huyện B bắc ngang qua con sông C.

Để hoạch định được số tiền cần chi để đổ bê tông thô đúc cầu, người ta đưa ra bản thiết kế mặt cắt song song của cầu là hình bên dưới (phần tô đậm là phần đổ bê tông, và các đơn vị đều đo bằng mét).

Trong đó phần giới hạn phía dưới là một đồ thị hàm bậc 2 và phần mỏng nhất của cầu là 1 m.

Biết chiều rộng của cầu bằng 9 m. Số tiền (có VAT) ít nhất để đổ bê tông thô đúc cầu là bao nhiêu. Biết mỗi \(1{{m}^{3}}\) bê tông có giá 1.320.000 (Chưa tính VAT 8%). Đơn vị: tỉ đồng, làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài \(500m\), biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng \(5m,\) khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là \(40m\). Bề dày nhịp cầu không đổi là \(20cm\). Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu \({{m}^{3}}\)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Bên trong hình vuông cạnh 4, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình bên). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là bao nhiêu?

Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức \(v\left( t \right)=-9,81t+29,43\,\left( \text{m/s} \right)\) (Nguồn: R.Larson anh Edwards, Calculus 10e, Cengage). Gọi \(h\left( t \right)\,\left( \text{m} \right)\) là độ cao của vât so với mặt đất tại thời điểm \(t\left( \text{s} \right.)\) (tính từ lúc bắt đầu ném vật).

Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ a\,;\,b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) bằng:

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \(1\). Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \(30{}^\circ \) ta thu được khối gỗ hình nêm \(\left( H \right)\) và đặt khối \(\left( H \right)\) vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x; y = 0; x = 1; x = e\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f(x) = x^2 +1\) và hàm số \(g(x) = 2x.\)

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Gọi \(M\left( t \right)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \({M}'\left( t \right)=m\left( t \right)\) với \(m\left( t \right)\) là số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm \(t\). Biết rằng \(m\left( t \right)=100+12\sqrt{t}-2t\) (với \(0\le t\le 100\)).

Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{2}^{x}}\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bẳng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5 m, có bán kính đáy 1 m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5 m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị \({{\text{m}}^{3}}\), làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3 x^2, y=0, x=0\) và \(x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?

Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, có bán kính đáy 1m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn vị \({{\text{m}}^{3}}\), làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=5t\ \ (\text{m/s});\)trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được 6 (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-\,5\ (\text{m/}{{\text{s}}^{2}})\).

Cho vật thể có hình dạng như hình bên dưới. Nếu cắt vật thể bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt một khoảng \({x}\) (m) \({(0 \leq x \leq 3)}\) thì được hình vuông có cạnh \({\sqrt{9-x^2}}\) (m). Thể tích của vật thể bằng bao nhiêu theo đơn vị \({{m}^{2}}\)?