Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Đạo hàm y’ = - 3x2+ 6x+ 3(m2-1) = - 3(x2- 2x - m2+1).
Đặt g( x) = x2 - 2x - m2+1 là tam thức bậc hai có
+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\) (1)
+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1 ± m
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m3) và B( 1+m ; -2+ 2m3).
Ta có:
Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA = OB hay OA2 = OB2
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - m} \right)^2} + 4{\left( {1 + {m^3}} \right)^2} = {\left( {1 + m} \right)^2} + 4{\left( {1 - {m^3}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow - 4m + 16{m^3} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \pm \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đúng 2 cực trị?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=m x^{4}+\left(m^{2}-9\right) x^{2}+10\) có 3 điểm cực trị.
-
Gọi \({x_1}\) là điểm cực đại, \({x_2}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\). Tính \({x_1} + 2{x_2}\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên và \(f\left( 0 \right) = 0;f\left( 4 \right) > 4\). Biết hàm \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) – 2x} \right|\).
.jpg.png)
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y=x^{4}-2 m^{2} x^{2}+1\) có ba điểm cực trị là ba
đỉnh của một tam giác vuông cân? -
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}\). Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 4{x^2} + 2\) là:
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 3{{\rm{x}}^4} + \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + 4\) là
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) là:
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = - {{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2\) là
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = - 2{{\rm{x}}^4}{\rm{ + 7}}{{\rm{x}}^2} - 3\) là
-
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Tìm tọa độ điểm cực tiểu M của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\).
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} - 11{{\rm{x}}^2} + 9\) là
-
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\). Số điểm cực trị của hàm số là
-
Hàm số \(y = - 4{x^3} - 6{x^2} - 3x + 2\) có mấy điểm cực trị
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{3}{4}{{\rm{x}}^4} + \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - 1\) là
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thịnhư hình bên dưới. Đồ thị hàm số \(g(x)=|2 f(x)-3|\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{{\rm{x}}^4} + \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + 3\) là
-
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{13}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
