Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 2;1;3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\), m là tham số thực. Gọi \(H\left( a;b;c \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên \(\left( P \right)\). Khi khoảng cách từ điểm A đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, tính a+b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + m + 3\left( {2m + 1} \right) - m - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} }}\).
Vì \(1 + {m^2} \ge \frac{1}{5}{\left( {2m + 1} \right)^2}\), \(\forall m\in \mathbb{R}\) nên \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le \frac{{3\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{5}{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{2}\).
Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất khi và chỉ khi m = 2.
Khi đó: \(\left( P \right):x + 2y + 5z - 4 = 0\); \(AH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 + t}\\ {y = 1 + 2t}\\ {z = 3 + 5t} \end{array}} \right.\).
\(H=d\cap \left( P \right) \Rightarrow 2+t+2\left( 1+2t \right)+5\left( 3+5t \right)-4=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \Rightarrow H\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\).
Vậy \(a=\frac{3}{2}, b=0 \Rightarrow a+b=\frac{3}{2}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn \(2{{\log }_{2}}b-3{{\log }_{2}}a=2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}, f\left( -6 \right)<0\) và bảng xét dấu đạo hàm
.png.jpg)
Hàm số \(y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( 3;5;2 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\)?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=\sqrt{2}a\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho số phức z thoả mãn \(3\left( \overline{z}-i \right)-\left( 2+3i \right)z=9-16i.\) Môđun của z bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)\ge 3\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}; {{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+3z-5=0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình là
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\left( {{2^{ - x}} + 5} \right)\) là
-
Đường cong \(\left( C \right)\) hình bên là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
-
Cho \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2z+5=0\), trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo dương. Số phức liên hợp của số phức \({{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\) là?
-
Cho tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 4x-1+\cos x \right)\text{d}x}=\pi \left( \frac{\pi }{a}-\frac{1}{b} \right)+c\), \(\left( a,b,c\in \mathbb{Q} \right)\). Tính a-b+c
-
Cho \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+2\sin x \right]\text{d}x}\).
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-2i, {{z}_{2}}=-3+3i\). Khi đó số phức \({{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) là
-
Cho cấp số nhân với \({{u}_{1}}\,=\,2;\,{{u}_{2}}\,=\,6\). Giá trị của công bội q bằng
-
Đạo hàm cùa hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3\) và đường thẳng d:y=ax với \(m,\,\,a\) là các tham số và a>0. Biết rằng A, B là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\) và d cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm C,D sao cho \(CD=4\sqrt{2}\) và ACBD là hình bình hành. Tính diện tích của ACBD.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.
.png)
Khi đó số cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
-
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
