Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;4;0} \right)\) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y - 2z + 2015 = 0. Gọi \(\alpha\) là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P). Giá trị của \(\cos \alpha\) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z - 2 = 0\). Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là

Tìm điểm M trên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) sao cho \(AM = \sqrt 6 \), với A(0;2;-2).

Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0\), \(\left( R \right):x - y + 5 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z + 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;m;2} \right);\overrightarrow b = \left( {m + 1;2;2} \right);\overrightarrow c \left( {0;m - 2;2} \right)\). Giá trị của m để \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + mt\\ z = - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(m;0;0), \(B\left( {2;1;2} \right),C\left( {0;2;1} \right)\). Để \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\) thì

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}\) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \(\Delta\) và tạo với (P) một góc nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của \((\alpha)\) là 

Cho điểm M(1;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;2} \right),B\left( {3; - 1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\). Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Cho tam giác ABC có A(1;2;3), \(B\left( { - 3;0;1} \right),C\left( { - 1;y;z} \right)\). Trọng tâm của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp (y;z) là

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0\); \(\left( R \right):x + 2y + z = 0\). Phương trình mặt phẳng (P) là

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với \(\overrightarrow u \left( {1;2;3} \right)\) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) và \({d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)\) là