Cho phương trình \(\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0,\) \(m\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là:

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sin x - 2m\cos x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - m} \right) - \left( {\sin x - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - m} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \,x = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

*) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), có \(x \in \left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \dfrac{{7\pi }}{4} \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \,\,3\pi \Leftrightarrow \dfrac{{17}}{{24}} \le k \le \,\dfrac{4}{3}\,\,\, \Rightarrow k = 1\,\, \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{3}\)

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), có \(x \in \left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \dfrac{{7\pi }}{4} \le - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \,\,3\pi \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{24}} \le k \le \,\dfrac{5}{3}\,\,\, \Rightarrow k \in \emptyset \)

\( \Rightarrow \)Phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất trên đoạn \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là \(x = \dfrac{{7\pi }}{3}\)

*) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right] \Rightarrow \)Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm khác \(\dfrac{{7\pi }}{3}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\).