Cho hình lăng trụ \(A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Cạnh BC=2a và \(\widehat{ A B C}=60^{\circ}\) .Biết tứ giác \(B C C^{\prime} B^{\prime}\) là hinh thoi có \(\widehat{ B^{\prime} B C}\) nhon. Măt phăng \(\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)\) vuông góc vói (A B C) và măt phẳng \(\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)\) tạo với (A B C) góc \(45^{\circ} .\) Thể tích khối lăng trụ \(A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) bằng:

A. \(\frac{\sqrt{7} a^{3}}{7}\)

B. \(\frac{3 \sqrt{7} a^{3}}{7}\)

C. \(\frac{6 \sqrt{7} a^{3}}{7}\)

D. \(\frac{\sqrt{7} a^{3}}{21}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Trong\(\left.\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \text { kẻ } B^{\prime} H \perp B C(H \in B C) \text { (do } \widehat{ B^{\prime} B C} \text { nhon }\right)\)

Trong (ABC) kẻ HK//AC \(\Rightarrow H K \perp A B \)

\(\text { ta có: }\left\{\begin{array}{l} A B \perp H K \\ A B \perp B H \end{array} \Rightarrow A B \perp\left(B^{\prime} H K\right) \Rightarrow A B \perp B K\right.\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} \left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right) \cap(A B C)=A B \\ \left.B^{\prime} K \subset\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right), B^{\prime} K \perp A B \Rightarrow \widehat{\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right) ;(A B C)}\right)=\widehat{(B K ; H K)}=\widehat{ B^{\prime} H K}=45^{\circ} \\ H K \subset(A B C), H K \perp A B \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle B^{\prime} H K \text { vuông cân tai } H \Rightarrow B^{\prime} H=H K=x\)

Xét tam giác BB'H ta có \(B H=\sqrt{B B^{2}-B H^{\prime 2}}=\sqrt{4 a^{2}-x^{2}}\)

Xét tam giác vuông ABC có \(4 C=B C \cdot \sin 60^{\circ}=a \sqrt{3}, A B=B C \cdot \cos 60^{\circ}=a\)

Áp dụng định lí Ta - lét \(\frac{B H}{B C}=\frac{H K}{A C} \Rightarrow \frac{\sqrt{4 a^{2}-x^{2}}}{2 a}=\frac{x}{a \sqrt{3}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left(4 a^{2}-x^{2}\right)=4 x^{2} \\ \Leftrightarrow 12 a^{2}-3 x^{2}=4 x^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2}=\frac{12 a^{2}}{7} \\ \Leftrightarrow x=\frac{2 a \sqrt{21}}{7}=B^{\prime} H \\ S_{\Delta B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C=\frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{3}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \end{array}\)

Vậy \(V_{A B C, A \mathrm{BC}}=B H S_{\mathrm{A} A B C}=\frac{2 a \sqrt{21}}{7} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}=\frac{3 a^{3} \sqrt{7}}{7}\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài