Cho số phức z thỏa \(\left| z \right|=1\). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\). Tính M-m.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \(\left| z \right|=1\) và \(z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}}\) nên ta có \(\bar{z}=\frac{1}{z}\).
Từ đó, \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\)
Đặt \({{z}^{4}}=x+iy\), với \(x,\,y\in \mathbb{R}\). Do \(\left| z \right|=1\) nên \(\left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\) và \(-1\le x,\,y\le 1\)
Khi đó \(P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
\(=2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3\)
Do đó \(P\ge 3\) Lại có \(-1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4\)
Vậy M=4 khi \({{z}^{4}}=\pm 1\) và m=3 khi \({{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\). Suy ra \(M-m=1\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Hoàng Hoa Thám lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{2x+1}\) là
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có các cạnh \(AB=3;\text{ }AD=4;\text{ }A{A}'=5\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}-x-4}}=\frac{1}{16}\) là
-
Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+3x-3\) với trục Ox?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=2\) và \(f\left( 3 \right)=9\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường tròn đáy cùng bằng R thì có thể tích là
-
Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=200-20t\) m/s. Trong đó t khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được quãng đường là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực \(a,\,\,b>1\) thỏa mãn \({{\log }_{9}}a={{\log }_{12}}b={{\log }_{16}}\frac{5b-a}{c}\).
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+5}\) Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?
-
Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 2;3;-1 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\). Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là
-
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;-1;2 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 4;5;-7 \right)\) là:
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=5\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \(11\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x+\left( m+1 \right)y-2z+m=0\) và \(\left( Q \right):2x-y+3=0\), với m là tham số thực. Để \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu?
-
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức?
.jpg.png)
-
Với \(a,b\) là hai số thực dương khác 1, ta có \({{\log }_{b}}a\) bằng:
-
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; chiều cao có độ dày bằng 6a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
-
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( 0;+\infty \right)\). Biết rằng tồn tại hằng số a>0 để \(\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6, \forall x>0\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{-1}\) và mặt phẳng \((P):2x-3y+z-6=0\). Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P) cắt và vuông góc với d có phương trình
