Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo giả thiết, ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} \) (1)
Đặt 1 – x = t thì \({\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\), với \(x = 0 \Rightarrow t = 1\), với \(x = 1 \Rightarrow t = 0\)
Do đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_1^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) (2).
Lại có \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1 + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2} + 2\ln 2\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{2} + 2\ln 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{4} + \ln 2\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thái Học lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( C \right):y={{x}^{2}}+2x;\,\,\left( d \right):y=x+2\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
-
Tập xác định của hàm số y = \({{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau
.png)
Số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\), thỏa mãn \(\int_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Giá trị tích phân \(I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2020}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-7)}^{2}}=36\) có tâm I và bán kính R là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right)\), T = M + m. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.jpg.png)
-
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3)= 5 . Tính \(\text{I = }\int\limits_{0}^{3}{{{f}{'}}(x)dx}\).
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-i\) và \({{z}_{2}}=-3+i.\) Phần thực của số phức 3\(z_{1} z_{2}\) bằng
-
Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với công sai d=3 và \({{u}_{2}}=9\). Số hạng \({{u}_{1}}\) của cấp số cộng bằng
-
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử là
-
Cho tích phân \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}\). Nếu đặt \(t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}\) thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là
-
Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là điểm I thuộc cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng \(\left( A'BC \right)\).
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( c \right):y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4\) và trục hoành là
-
Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là \(8\pi\)
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
-
Cho khối chóp có diện tich đáy B=3 và thể tích V = 4. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
