Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy, thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{2{{\rm{a}}^3}}}{3}.\dfrac{3}{{{a^2}}} = 2{\rm{a}}\)
Gọi O là giao điểm của \(AC,BD\)\( \Rightarrow AO \bot BD\). Mặt khác ta có \(SA \bot BD\)
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAO} \right)\). Kẻ \(AH \bot SO \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{4{a^2}}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)
Chọn A
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2022-2023
Trường THPT Nguyễn Trãi
