Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm \(A(0 ;-1 ; 2), B(2 ;-3 ; 0), C(-2 ; 1 ; 1), D(0 ;-1 ; 3)\). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D}=1\) . Biết rằng (L) là một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+Trước tiên, ta xét bài toán phụ sau:
“Trong không gian cho đoạn thẳng AB bất kì, có trung điểm I . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=k>0\) là một mặt cầu tâm I và bán kính \(R=\sqrt{k+I A^{2}}\) ”. Thật vậy:
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=k \Leftrightarrow(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})=k \Leftrightarrow(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})(\overrightarrow{M I}-\overrightarrow{I A})=k \Leftrightarrow M I^{2}-I A^{2}=k \\ &\Leftrightarrow M I^{2}=k+I A^{2} \text { hay } I M=\sqrt{k+I A^{2}} \end{aligned}\)
Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I , bán kính \(R=\sqrt{k+I A^{2}}\)
+\(\text { Áp dụng: Có } I(1 ;-2 ; 1) \text { và } J(-1 ; 0 ; 2) \text { lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng } A B \text { và } C D\)Sử dụng kết quả bài toán trên, ta có:
\(\text { Từ điều kiện } \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=1, \text { suy ra } M \text { thuộc mặt cầu tâm } I, \text { bán kính } R_{1}=2 .(1)\)
\(\text { Từ điều kiện } \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D}=1, \text { suy ra } M \text { thuộc mặt cầu tâm } J, \text { bán kính } R_{2}=2 \text { . (2) }\)
\(\text { Ta có }\left|R_{1}-R_{2}\right|=0<I J=3<R_{1}+R_{2}=4 \text { . (3) }\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra M thuộc đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu nêu trên.
+ Gọi K là tâm của đường tròn giao tuyến
\(\text { Suy ra bán kính cần tìm } r=K M=\sqrt{I M^{2}-I K^{2}}=\sqrt{2^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2} \text { . }\)
