Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right),B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right), C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\). Gọi \(M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(P = {x_M} + {y_M}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi J là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JO} + 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {OJ} = 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \Rightarrow J(3\,;\,6\,;\,9)\).
Mà \(3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MJ} + \left( {3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} } \right)\) nên \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|\)
Do đó \({\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }}\).
Mặt khác: \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {14} \) và \(IJ = 2\sqrt {14} > R \Rightarrow \) điểm J nằm ngoài mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm \({M_1}\,,\,{M_2}\).
Phương trình đường thẳng \(\left( {IJ} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\end{array} \right.\,\).
Từ hệ trên ta có phương trình: \({\left( {2t} \right)^2} + {\left( {4t} \right)^2} + {\left( {6t} \right)^2} = 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \({M_1}\left( {2\,;\,4\,;\,6} \right)\,,\,{M_2}\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right),{M_1}J = \sqrt {14} \,;\,{M_2}J = 3\sqrt {14} \).
Vậy \({\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv {M_1}\). Khi đó \(P = {x_M} + {y_M} = 2 + 4 = 6\).
Câu hỏi liên quan
-
Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x0<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.
-
Một mặt cầu có diện tích \(16\pi \). Tính bán kính mặt cầu đó.
-
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm \(I(2 ; 1 ;-4)\) và mặt phẳng \((P): x+y-2 z+1=0\) . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S).
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right), B\left( {0; – 3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;6} \right)\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC là:
-
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a,AB = b,AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :
-
Mặt cầu tâm \(I\left( { – 1;2;0} \right)\) đường kính bằng 10 có phương trình là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o. Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là
-
Cho mặt cầu (S) tâm (O) bán kính 3cm. Điểm A nằm ngoài mặt cầu và cách O một khoảng bằng 5cm. Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu, B là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng AB là:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z + 2 = 0.\) Độ dài đường kính của mặt cầu \((S)\) bằng
-
Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.
-
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)\). Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại các điểm \(M\), \(N\), \)P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25, \left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0\). Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \({a^2} + bc\) bằng
-
Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng a . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(2\sqrt 3 \pi a\) . Diện tích mặt cầu (S) bằng bao nhiêu?
-
Mặt cầu (S) tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với A(−12;1;1); B(0;−2;4); C(−5;−2;2). Tìm tọa độ tiếp điểm.
-
Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \( \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng
