Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(0 ; 0 ; 3), B(1 ; 1 ; 5), C(-3 ; 0 ; 0), D(0 ;-3 ; 0) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phằng và tính diện tích \(\triangle A C D\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\overrightarrow{A B}(1 ; 1 ; 2) ; \overrightarrow{A C}(-3 ; 0 ;-3) ; \overrightarrow{A D}(0 ;-3 ;-3)\)
\(\begin{gathered}
{[\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}]=\left(\left|\begin{array}{cc}
-3 & -3 \\
0 & -3
\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}
-3 & 0 \\
-3 & -3
\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-3 & 0
\end{array}\right|\right)=(9 ; 9 ;-9)} \\
\Rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot[\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}]=1.9+1.9+2 \cdot(-9)=0
\end{gathered}
\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}\) đồng phẳng \(\Rightarrow\) 4 điểm A, B, C, D đồng phằng
\(\text { Diện tích } \triangle A C D S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}]|=\frac{1}{2}\left|\sqrt{9^{2}+9^{2}+(-9)^{2}}\right|=\frac{9 \sqrt{3}}{2}\)